Determine o módulo do vetor gradiente a função ????(????,????,????)=3????????????−????2+2????2+4????³no ponto (2,0,1)

Para determinar o módulo do vetor gradiente da função \( f(x, y, z) = 3xyz - y^2 + 2z^2 + 4z^3 \) no ponto \( (2, 0, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3yz \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3xz - 2y \) - \( f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = 3xy + 4z^2 \) 2. Avalie as derivadas parciais no ponto \( (2, 0, 1) \): - \( f_x(2, 0, 1) = 3(0)(1) = 0 \) - \( f_y(2, 0, 1) = 3(2)(1) - 2(0) = 6 \) - \( f_z(2, 0, 1) = 3(2)(0) + 4(1)^2 = 4 \) 3. Forme o vetor gradiente: \[ \nabla f(2, 0, 1) = (f_x, f_y, f_z) = (0, 6, 4) \] 4. Calcule o módulo do vetor gradiente: \[ |\nabla f| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + f_z^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Portanto, o módulo do vetor gradiente da função no ponto \( (2, 0, 1) \) é \( 2\sqrt{13} \).

Para determinar o módulo do vetor gradiente da função f(x,y,z) = 3x^2y - 2y^2 + 2z^2 + 4z^3 no ponto (2,0,1), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o vetor gradiente da função f(x,y,z) no ponto (2,0,1), que é dado por: grad f(2,0,1) = (6(2)(0), 3(2)^2 - 4(0), 4(2)(1) + 12(1)^2) = (0, 8, 16) 2. Calcular o módulo do vetor gradiente, que é dado por: |grad f(2,0,1)| = sqrt(0^2 + 8^2 + 16^2) = sqrt(320) = 8sqrt(5) Portanto, o módulo do vetor gradiente da função f(x,y,z) no ponto (2,0,1) é 8sqrt(5).