Uma equação na forma:. a2x²y + a₁xy + aoy = f(x) é chamada de Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem. A solução deste tipo de equação está ligada a substituição da função y(x) por x* para encontrar uma equação característica k Encontre a solução geral da equação x^ 2 y^ prime prime + 2x * y' = 0

Question

Uma equação na forma:. a2x²y + a₁xy + aoy = f(x) é chamada de Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem. A solução deste tipo de equação está ligada...

Ed · Answer

Para resolver a equação de Cauchy-Euler dada por $ x^2 y'' + 2x y' = 0 $, podemos seguir os seguintes passos:

1. **Identificação da forma**: A equação está na forma de Cauchy-Euler, onde $ a_2 = 1 $, $ a_1 = 2 $ e $ a_0 = 0 $.

2. **Substituição**: Usamos a substituição $ y = x^m $. Assim, temos:
   - $ y' = m x^{m-1} $
   - $ y'' = m(m-1) x^{m-2} $

3. **Substituindo na equação**:
   $$
   x^2 (m(m-1)x^{m-2}) + 2x(m x^{m-1}) = 0
   $$
   Simplificando, obtemos:
   $$
   m(m-1)x^m + 2m x^m = 0
   $$
   $$
   (m(m-1) + 2m)x^m = 0
   $$

4. **Equação característica**: Para que a equação seja verdadeira para todo $ x \neq 0 $, devemos ter:
   $$
   m(m-1) + 2m = 0
   $$
   $$
   m^2 + m = 0
   $$
   $$
   m(m + 1) = 0
   $$

5. **Soluções da equação característica**: As soluções são $ m_1 = 0 $ e $ m_2 = -1 $.

6. **Solução geral**: A solução geral da equação é dada por:
   $$
   y(x) = C_1 x^0 + C_2 x^{-1}
   $$
   Simplificando, temos:
   $$
   y(x) = C_1 + \frac{C_2}{x}
   $$
   onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Portanto, a solução geral da equação $ x^2 y'' + 2x y' = 0 $ é:
$$
y(x) = C_1 + \frac{C_2}{x}
$$

Ed · Answer

A equação dada é uma Equação de Cauchy-Euler de segunda ordem, que pode ser resolvida por meio da substituição y(x) = x^k. Ao aplicar essa substituição, obtemos a equação característica k(k-1) + 2k = 0, que pode ser simplificada para k(k+1) = 0. Portanto, as soluções para a equação característica são k = 0 e k = -1.

Assim, a solução geral da equação x^2y'' + 2xy' = 0 é dada por y(x) = c1*x^0 + c2*x^(-1), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Simplificando, temos y(x) = c1 + c2/x. Essa é a solução geral da equação diferencial de Cauchy-Euler de segunda ordem dada.

Equações Diferenciais Ordinárias

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