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- 2.5.13. Quais dos ideais I são maximal no anel R?
(b) I =< x >, R = Z[x];
(c) I =< x >, R = Q[x];
(c) I =< x2 + x + 1 >, R = Z2[x];
Solução.
(a) Co...
- Exercício 2.5.12. Prove os seguintes polinômios são irredutíveis.
(a) x4 + x3 + x2 + x + 1 é irredutível em Z2[x]
(b) x4 − 7x3 + 5x2 − 3x − 9 é ir...
- Exercício 2.5.10. (a) Mostre que x2 + 2 é irredutível em Z5[x].
(b) Factorize x4 − 4 como um produto de fatores irredutíveis emZ5[x].
(c) Para qu...
- ) Seja f (x) = x5 + 4x4 + 4x3 − x2 − 4x + 1. Podemos verificar que
f (1) = (1)5 + 4(1)4 + 4(1)3 − (1)2 − 4(1) + 1 = 5 = 0 em Z5
f (3) =...
- Exercício 2.5.7. Determine polinômios q(x) e r(x) tais que f(x) = g(x)q(x) + r(x), e r(x) = 0 ou grau r(x) < grau g(x) para os seguintes casos: (a)...
- Exercício 2.5.6. Seja F um corpo. Prove que ⟨x⟩ = {xp(x) | p(x) ∈ F[x]} é um ideal de F[x]. Seja p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0. Prove q...
- /2) = 0.
Como 3 e 1/2 são raízes de f (x), temos pelo algoritmo da divisão
f (x) = (2x2 + 2x + 2)(x − 3)(x − 1
2
)
= 2
(
x − −1 −
√
3i
2
) (
x ...
- Teorema 2.5.10. (Teorema das Raízes Racionais). Sejam f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn ∈ Z[x] um polinômio de grau n ≥ 1 e r = p/q uma raiz rac...
- Teorema 2.5.9. (Teorema Fundamental da Álgebra). Sejam C o corpo dos números complexos e f (x) ∈ C[x] um polinômio não-constante. Então, existe um ...
- Teorema 2.5.8. Seja R um domínio de integridade e f (x) ∈ R[x]\{0}. Se n = grau f (x), então f (x) tem no máximo n raízes em R.
- Definição 2.5.5. (Raiz de um polinômio). Seja R um anel comutativo e f (x) ∈ R[x]\{0}. Um elemento a ∈ R é chamado de raiz de f (x) se f (a) = 0.
- = 0 ou grau r(x) < grau g(x) : (a) f (x) = x4 − 7x + 1, g(x) = 2x2 + 1 ∈ Q[x] (b) f (x) = 4x4 + 2x3 + 6x2 + 4x + 5, g(x) = 3x2 + 2 ∈ Z7[x] (c) f (x...
- Considere a função ϕ : Z24 −→ Z8 [a]24 7−→ [a]8 (a) Prove que ϕ é um homomorfismo de anéis. (b) Determine o núcleo de ϕ, N(ϕ) (c) Prove que ϕ é sob...
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