27. Problema: Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2 no ponto (1,1) na direção do vetor v = <1, -1>.

Para calcular a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2 \) no ponto (1,1) na direção do vetor \( v = \langle 1, -1 \rangle \), você pode usar a fórmula: \[ D_v f(a,b) = \nabla f(a,b) \cdot \frac{v}{\|v\|} \] Primeiro, calcule o gradiente de \( f(x,y) \): \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] \[ \nabla f(x,y) = \left( 2x + 2y, 2x - 2y \right) \] Agora, no ponto (1,1): \[ \nabla f(1,1) = \left( 2 + 2, 2 - 2 \right) = (4, 0) \] Em seguida, normalize o vetor \( v \): \[ \|v\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] \[ \frac{v}{\|v\|} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \] Agora, calcule a derivada direcional: \[ D_v f(1,1) = (4, 0) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \] \[ D_v f(1,1) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} \] \[ D_v f(1,1) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2 \) no ponto (1,1) na direção do vetor \( v = \langle 1, -1 \rangle \) é \( 2\sqrt{2} \).