Questão resolvida - A função f(x) x - 4x 4 - ln(x) tem zero no intervalo [1,2] Calcule a raiz de f(x)com precisão de - Cálculo Numérico - Universidade Estácio de Sá

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• A função tem zero no intervalo . Calcule a raiz de f x = x - 4x + 4 - ln x( ) 2 ( ) 1, 2[ ]
 com precisão de . Utilizando o método da falsa posição.f x( ) 10-4
 
Resolução:
 
Seja um intervalo , que contenha uma das raíses de uma determinada função , a, b[ ] f x( )
então, para aplicar o métódo da falsa posição fazemos;
 
=x⏨
af b - bf a
f b - f a
( ) ( )
( ) ( )
 
 Com o valor encontrado para , e tendo um critério de parada , repetimos a operação f(x⏨) 𝜀
1, seguindo alguns conceitos, até que;
 
f < 𝜀(x⏨)
 
Vamos iniciar a aplicação do método da falsa posição, tomando como e , repectivamente, a b
os extremos incial e final do intervalo ;1, 2[ ]
 
1° - Interação
f 2 = 2 - 4 ⋅ 2 + 4 - ln 2 f 2 = 4 - 8 + 4 - ln 2 f 2 = 0 - ln 2 f 2 = - 0, 69315( ) ( )2 ( ) → ( ) ( ) → ( ) ( ) → ( )
 
= = = ≅ 1, 59062x⏨1
1 ⋅ f 2 - 2f 1
f 2 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 69315 - 2 ⋅ 1
-0, 69315 - 1
( ) ( ) -0, 69315 - 2
-0, 69315 - 1
→ x⏨1
 
f 1, 59062 = 1, 59062 - 4 ⋅ 1, 59062 + 4 - ln 1, 59062 f 1, 59062 = - 0, 29653( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 29653 > 10 ou 0, 29653 > 0, 0001-4
 
 
f 1 = 1 - 4 ⋅ 1 + 4 - ln 1 f 1 = 1 - 4 + 4 - 0 f 1 = 1( ) ( )2 ( ) → ( ) → ( )
(1)
2° - Interação
 
Como : f 2 < 0, usamos o encontrado como novo limite superior do intervalo, assim, o novo( ) x⏨1
intervalo a ser usado na equação 1 é : 1; 1, 59062[ ]
 
Com isso, temos que : 
 
f 1 = 1( )
f 1, 59062 = - 0, 29653( )
 
= = = 1, 45554x⏨2
1 ⋅ f 1, 59062 - 1, 59062f 1
f 1, 59062 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 29653 - 1, 59062 ⋅ 1
-0, 29653 - 1
( )
→ x⏨2
 
f 1, 45554 = 1, 45554 - 4 ⋅ 1, 45554 + 4 - ln 1, 45554 f 1, 45554 = - 0, 07894( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 07894 > 10 ou 0, 07894 > 0, 0001-4
 
3° - Interação
 
Como : f 1, 59062 < 0, usamos o encontrado como novo limite superior do intervalo, assim,( ) x⏨2
 o novo intervalo a ser usado na equação 1 é : 1; 1, 45554[ ]
 
Com isso, temos que : 
 
f 1 = 1( )
f 1, 45554 = - 0, 07894( )
 
= = = 1, 42208x⏨3
1 ⋅ f 1, 45554 - 1, 45554f 1
f 1, 45554 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 07894 - 1, 45554 ⋅ 1
-0, 07894 - 1
( )
→ x⏨3
 
f 1, 42208 = 1, 42208 - 4 ⋅ 1, 42208 + 4 - ln 1, 42208 f 1, 42208 = - 0, 018129( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 018129 > 10 ou 0, 018129 > 0, 0001-4
 
4° - Interação
 
Como : f 1, 45554 < 0, usamos o encontrado como novo limite superior do intervalo, assim,( ) x⏨3
 o novo intervalo a ser usado na equação 1 é : 1; 1, 42208[ ]
 
 
 
Com isso, temos que : 
 
f 1 = 1( )
f 1, 42208 = - 0, 018129( )
 
= = = 1, 41456x⏨4
1 ⋅ f 1, 42208 - 1, 42208f 1
f 1, 42208 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 018129 - 1, 42208 ⋅ 1
-0, 018129 - 1
( )
→ x⏨4
 
f 1, 41456 = 1, 41456 - 4 ⋅ 1, 41456 + 4 - ln 1, 41456 f 1, 41456 = - 0, 0040785( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 0040785 > 10 ou 0, 0040785 > 0, 0001-4
 
5° - Interação
 
Como : f 1, 42208 < 0, usamos o encontrado como novo limite superior do intervalo, assim,( ) x⏨4
 o novo intervalo a ser usado na equação 1 é : 1; 1, 41456[ ]
 
Com isso, temos que : 
 
f 1 = 1( )
f 1, 41456 = - 0, 0040785( )
 
= = = 1, 41288x⏨5
1 ⋅ f 1, 41456 - 1, 41456f 1
f 1, 41456 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 0040785 - 1, 41456 ⋅ 1
-0, 0040785 - 1
( )
→ x⏨5
 
f 1, 41288 = 1, 41288 - 4 ⋅ 1, 41288 + 4 - ln 1, 41288 f 1, 41288 = - 0, 00092028( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 00092028 > 10 ou 0, 00092028 > 0, 0001-4
 
6° - Interação
 
Como : f 1, 41456 < 0, usamos o encontrado como novo limite superior do intervalo, assim,( ) x⏨5
 o novo intervalo a ser usado na equação 1 é : 1; 1, 41288[ ]
 
Com isso, temos que : 
 
f 1 = 1( )
f 1, 41288 = - 0, 00092028( )
 
 
 
= = = 1, 41234x⏨6
1 ⋅ f 1, 41456 - 1, 41331f 1
f 1, 41456 - f 1
( ) ( )
( ) ( )
1 ⋅ -0, 00092028 - 1, 41456 ⋅ 1
-0, 00092028 - 1
( )
→ x⏨6
 
f 1, 41234 = 1, 41234 - 4 ⋅ 1, 41234 + 4 - ln 1, 41234 f 1, 41234 = - 0, 000096372( ) ( )2 ( ) → ( )
 
em módulo, temos : 0, 000096372 < 10 ou 0, 000096372 < 0, 0001-4
 
Logo, a raíz de com precisão de é;f x( ) 10-4
 
x = 0, 000096372 ou x ≅ 9, 6 × 10-5
 
 
(Resposta)