Problemas de Cálculo Matemático

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24. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{5}\cos(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 
\) são constantes arbitrárias. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
termo não homogêneo. 
 
25. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por 
\( y = x^2 \) e \( y = 4 \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{512}{15}\pi \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do cilindro para calcular o volume de 
revolução. 
 
26. Problema: Encontre os pontos de interseção entre a reta \( x + y = 4 \) e a parábola \( y = 
x^2 \). 
 Resposta: Os pontos de interseção são \( (1,3) \) e \( (3,1) \). 
 Explicação: Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as equações da reta e 
da parábola. 
 
27. Problema: Calcule a derivada direcional da função \( f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2 \) no ponto 
\( (1,1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, -1 \rangle \). 
 Resposta: A derivada direcional é \( \sqrt{2} \). 
 Explicação: A derivada direcional é calculada utilizando o gradiente da função e o vetor 
direção. 
 
28. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto \( (0,1) 
\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a reta tangente, calculamos a derivada da função e 
utilizamos o ponto dado. 
 
29. Problema: Resolva a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx \). 
 Resposta: \( \sqrt{x^2 + 4} + C \). 
 Explicação: Podemos resolver esta integral utilizando uma substituição trigonométrica.