49. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva y = \sqrt{x} no ponto (1,1).

Para determinar a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (1,1), primeiro calculamos a derivada da função \( y = \sqrt{x} \). A derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Substituindo x = 1 nessa expressão, obtemos a inclinação da reta tangente à curva no ponto (1,1), que é \( \frac{1}{2} \). Assim, a equação da reta tangente é dada por \( y - y_1 = m(x - x_1) \), onde \( (x_1, y_1) \) é o ponto dado e m é a inclinação. Substituindo os valores, temos: \( y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \) Portanto, a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (1,1) é \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \).