Problemas de Cálculo e Álgebra

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49. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \(y = \sqrt{x}\) no ponto (1,1). 
 Resolução: A equação da reta tangente é \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). 
 
50. Problema: Resolva a equação diferencial \(y'' + 2y' + y = 2e^x\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + e^x\). 
 
51. Problema: Calcule a soma dos termos da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-
1)^n}{n(n+1)}\). 
 Resolução: A soma é igual a \(\ln(2)\). 
 
52. Problema: Determine os valores de \(x\) para os quais a série \(\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{x^n}\) converge. 
 Resolução: A série converge para \(x > 1\). 
 
53. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \(y = \ln(x)\) no ponto (1,0). 
 Resolução: A equação da reta normal é \(y = -x\). 
 
54. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' = \tan(x)\). 
 Resolução: A solução geral é \(y(x) = -\ln|\cos(x)| + C\). 
 
55. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = 
\cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resolução: A área é igual a \(2 - \sqrt{2}\). 
 
56. Problema: Calcule a integral tripla de \(\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV\), onde \(V\) é o 
sólido delimitado pela esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) e o plano \(z = 0\). 
 Resolução: A integral tripla é igual a \(\frac{256}{3}\pi\). 
 
57. Problema: Encontre a derivada parcial de \(f(x,y,z) = e^{xy + z}\) em relação a \(z\) no 
ponto (0,0,1). 
 Resolução: A derivada parcial é \(e^{xy + z}\), que no ponto (0,0,1) é \(e\).