50. Problema: Determine o ponto de máximo global da função f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6x - 5.

Para determinar o ponto de máximo global da função \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6x - 5 \), precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos a derivada da função e igualamos a zero para encontrar os valores de \( x \). Calculando a derivada de \( f(x) \): \( f'(x) = -3x^2 + 6x + 6 \) Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: \( -3x^2 + 6x + 6 = 0 \) \( -3(x^2 - 2x - 2) = 0 \) \( x^2 - 2x - 2 = 0 \) Resolvendo a equação quadrática, obtemos: \( x = 1 + \sqrt{3} \) ou \( x = 1 - \sqrt{3} \) Agora, para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda de \( f(x) \): \( f''(x) = -6x + 6 \) Substituindo os valores dos pontos críticos na derivada segunda, temos: \( f''(1 + \sqrt{3}) = -6(1 + \sqrt{3}) + 6 < 0 \) - Ponto de máximo \( f''(1 - \sqrt{3}) = -6(1 - \sqrt{3}) + 6 < 0 \) - Ponto de máximo Portanto, o ponto de máximo global da função é \( (1 + \sqrt{3}, f(1 + \sqrt{3})) \) e \( (1 - \sqrt{3}, f(1 - \sqrt{3})) \).