Exericico fixação-165

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Resolução: Calculando a derivada da função em \( x = 4 \), que é \( y' = \frac{1}{4} \), a 
equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \). 
 
47. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - y = e^x \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo não 
homogê 
 
neo. A solução geral é \( y = Ce^x + e^x \), onde \( C \) é uma constante arbitraria. 
 
48. Problema: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = \cos(xy) \) em relação a \( x \). 
 Resolução: A derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) é \( \frac{\partial f}{\partial 
x} = -y\sin(xy) \). 
 
49. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \, dx \). 
 Resolução: Usando a identidade trigonométrica \( \cos^3(x) = \frac{1}{4}(3\cos(x) + 
\cos(3x)) \), podemos reescrever a integral como \( \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 
(3\cos(x) + \cos(3x)) \, dx \). Após integrar, obtemos \( \frac{3}{4} \). 
 
50. Problema: Determine o ponto de máximo global da função \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 6x - 5 
\). 
 Resolução: Para encontrar o ponto de máximo global, encontramos os zeros da 
derivada primeira. Como \( f'(x) = -3x^2 + 6x + 6 \), o ponto de máximo ocorre em \( x = 1 \), 
e o máximo global é \( f(1) = 4 \). 
 
51. Problema: Resolva a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 Resolução: Podemos decompor a fração em frações parciais, resultando em \( \int 
\frac{1}{2(x - 2)} - \frac{1}{2(x + 2)} \, dx \). Após integrar, obtemos \( \frac{1}{2}\ln|x - 2| - 
\frac{1}{2}\ln|x + 2| + C \). 
 
52. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x + 1}{3x^3 + 4} \). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), o limite se reduz a \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{5 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{4}{x^3}} \). Assim, o limite é \( \frac{5}{3} \). 
 
53. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) e pelo 
eixo \( x \) de \( x = 1 \) a \( x = 2 \).