Para encontrar a soma de todas as raízes reais da função, precisamos primeiro encontrar as raízes da função. Para isso, podemos igualar a função a zero e resolver a equação resultante. Começando com a função dada: f(x) = cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 Igualando a função a zero: cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 = 0 Podemos usar a identidade trigonométrica cotg²(x) = 1/sen²(x) - 1 para substituir cotg²(x) na equação: 1/sen²(x) - 1 - 5/4sen²(x) + 2 = 0 Multiplicando toda a equação por 4sen²(x) para eliminar os denominadores: 4 - 4sen²(x) - 5sen⁴(x) + 8sen²(x) = 0 Reorganizando os termos: -5sen⁴(x) + 4sen²(x) + 4 = 0 Podemos fazer uma substituição para simplificar a equação, substituindo sen²(x) por y: -5y² + 4y + 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau resultante: y = ( -4 ± √(16 - 4(-5)(4)) ) / (2(-5)) y = ( -4 ± √(96) ) / (-10) y = ( -4 ± 4√6 ) / (-10) As raízes da equação são os valores de y que satisfazem a equação. No entanto, precisamos encontrar os valores de x que correspondem a essas raízes. Como sen²(x) = y, podemos usar a função inversa do seno para encontrar os valores de x. x = arcsen(√y) Substituindo as raízes encontradas para y na equação acima, obtemos: x = arcsen(√( -4 + 4√6 ) / (-10)) x = arcsen(√( -4 - 4√6 ) / (-10)) No entanto, precisamos encontrar apenas as raízes que estão no intervalo [π/2, 3π/2]. Podemos ver que a primeira raiz é negativa e, portanto, não está no intervalo. A segunda raiz é positiva e está no intervalo. Podemos encontrar o valor numérico dessa raiz usando uma calculadora: x = arcsen(√( -4 - 4√6 ) / (-10)) x ≈ 1,0472 rad Agora que encontramos a única raiz real no intervalo, podemos calcular a soma de todas as raízes reais da função, que é igual a essa única raiz. Portanto, a resposta correta é: b) 53π/6