Calcule a integral tripla ∫_0^1▒∫_(-1)^2▒〖∫_0^3▒xy 〗 z^2 dzdydx 31/4 25/4 27/4 29/4 23/4

Para calcular a integral tripla \(\int_0^1 \int_{-1}^2 \int_0^3 xy z^2 \, dz \, dy \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \(z\): \[ \int_0^3 z^2 \, dz = \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9 \] 2. Substituir o resultado na integral: Agora, a integral se torna: \[ \int_0^1 \int_{-1}^2 xy \cdot 9 \, dy \, dx = 9 \int_0^1 \int_{-1}^2 xy \, dy \, dx \] 3. Calcular a integral em relação a \(y\): \[ \int_{-1}^2 xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^2 = x \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = x \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = x \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = x \cdot \frac{3}{2} = \frac{3x}{2} \] 4. Substituir o resultado na integral: Agora, a integral se torna: \[ 9 \int_0^1 \frac{3x}{2} \, dx = \frac{27}{2} \int_0^1 x \, dx \] 5. Calcular a integral em relação a \(x\): \[ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] 6. Substituir o resultado final: \[ \frac{27}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{4} \] Portanto, o resultado da integral tripla é \(\frac{27}{4}\).