Para calcular a integral tripla \(\iiint_{B} xyz^{2}\,dV\) sobre a caixa retangular \(B=\{(x,y,z)|0\le x\le 2;\, -2\le y\le 4;\, 0\le z\le 6\}\), precisamos configurar a integral iterada. A integral pode ser escrita como: \[ \int_{0}^{2} \int_{-2}^{4} \int_{0}^{6} xyz^{2} \, dz \, dy \, dx \] Agora, vamos calcular a integral passo a passo. 1. Integral em relação a \(z\): \[ \int_{0}^{6} z^{2} \, dz = \left[ \frac{z^{3}}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{6^{3}}{3} = \frac{216}{3} = 72 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_{0}^{2} \int_{-2}^{4} xy \cdot 72 \, dy \, dx = 72 \int_{0}^{2} \int_{-2}^{4} xy \, dy \, dx \] 2. Integral em relação a \(y\): \[ \int_{-2}^{4} y \, dy = \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{-2}^{4} = \frac{4^{2}}{2} - \frac{(-2)^{2}}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6 \] Agora, substituímos na integral: \[ 72 \int_{0}^{2} x \cdot 6 \, dx = 432 \int_{0}^{2} x \, dx \] 3. Integral em relação a \(x\): \[ \int_{0}^{2} x \, dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Finalmente, substituímos: \[ 432 \cdot 2 = 864 \] Portanto, o resultado da integral tripla \(\iiint_{B} xyz^{2}\,dV\) é 864. Se você tiver as alternativas, posso confirmar qual é a correta!