Considere a função f:IR→IR, definida por f(x)=2x-1. Determine todos os valores de m є IR para os quais é válida a igualdade: f(m²)-2f(m)+f(2m)= m/2.

Para resolver a equação \( f(m^2) - 2f(m) + f(2m) = \frac{m}{2} \), vamos primeiro calcular os valores de \( f(m^2) \), \( f(m) \) e \( f(2m) \) usando a função dada \( f(x) = 2x - 1 \). 1. Calcular \( f(m^2) \): \[ f(m^2) = 2(m^2) - 1 = 2m^2 - 1 \] 2. Calcular \( f(m) \): \[ f(m) = 2m - 1 \] 3. Calcular \( f(2m) \): \[ f(2m) = 2(2m) - 1 = 4m - 1 \] Agora, substituímos esses valores na equação original: \[ f(m^2) - 2f(m) + f(2m) = (2m^2 - 1) - 2(2m - 1) + (4m - 1) \] Simplificando a expressão: \[ = 2m^2 - 1 - 4m + 2 + 4m - 1 \] \[ = 2m^2 - 1 + 2 - 1 \] \[ = 2m^2 \] Agora, igualamos isso a \( \frac{m}{2} \): \[ 2m^2 = \frac{m}{2} \] Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: \[ 4m^2 = m \] Rearranjando a equação: \[ 4m^2 - m = 0 \] Fatorando: \[ m(4m - 1) = 0 \] Portanto, temos duas soluções: 1. \( m = 0 \) 2. \( 4m - 1 = 0 \) \(\Rightarrow m = \frac{1}{4}\) Assim, os valores de \( m \) que satisfazem a igualdade são: \[ m = 0 \quad \text{ou} \quad m = \frac{1}{4} \]