49. Problema: Determine o valor de ∫(x^3)/(sqrt(1 - x^2)) dx.

Para resolver a integral ∫(x^3)/(sqrt(1 - x^2)) dx, podemos fazer a substituição trigonométrica x = sen(t). Assim, dx = cos(t) dt e a integral se torna: ∫(sen^3(t))/(cos(t)) cos(t) dt = ∫sen^3(t) dt Para resolver essa nova integral, podemos usar a identidade trigonométrica sen^3(t) = (3sen(t) - sen(3t))/4. Substituindo na integral, temos: ∫(3sen(t) - sen(3t))/4 dt = 3∫sen(t) dt - 1/4 ∫sen(3t) dt Integrando termo a termo, obtemos: 3(-cos(t)) - 1/4(-cos(3t)/3) + C Substituindo de volta x = sen(t), temos: -3√(1 - x^2) + √(1 - x^2)/4 + C Portanto, o valor da integral é -3√(1 - x^2) + √(1 - x^2)/4 + C.