Para resolver a equação diferencial \( y' + 5y = t^3 e^{-5t} \) utilizando o método dos fatores integrantes, precisamos seguir alguns passos. 1. Identificar a equação: A equação está na forma padrão \( y' + P(t)y = Q(t) \), onde \( P(t) = 5 \) e \( Q(t) = t^3 e^{-5t} \). 2. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(t) \) é dado por \( e^{\int P(t) dt} = e^{\int 5 dt} = e^{5t} \). 3. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{5t}y' + 5e^{5t}y = t^3 \] 4. Reescrever a equação: A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dt}(e^{5t}y) = t^3 \] 5. Integrar ambos os lados: \[ e^{5t}y = \int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + C \] 6. Isolar \( y \): \[ y = e^{-5t} \left( \frac{t^4}{4} + C \right) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = x + \ln x \) - Não é a solução correta. B) \( y = e^x + c \) - Não é a solução correta. C) \( y = \ln(x + 3) + c \) - Não é a solução correta. D) \( y = \left( \frac{t^4}{4} + c \right)e^{-5t} \) - Esta é a forma correta da solução geral. Portanto, a alternativa correta é: D.