Para resolver a congruência \( 21x \equiv 15 \mod 24 \), vamos seguir os passos: 1. Simplificar a congruência: Primeiro, precisamos simplificar a congruência. Podemos dividir todos os termos por 3, que é o máximo divisor comum entre 21, 15 e 24. \[ \frac{21}{3}x \equiv \frac{15}{3} \mod \frac{24}{3} \] Isso nos dá: \[ 7x \equiv 5 \mod 8 \] 2. Encontrar a inversa de 7 módulo 8: Precisamos encontrar a inversa de 7 módulo 8. O número que multiplicado por 7 dá 1 módulo 8 é 7, pois: \[ 7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \mod 8 \] 3. Multiplicar ambos os lados pela inversa: \[ 7 \cdot 7x \equiv 7 \cdot 5 \mod 8 \] Isso resulta em: \[ x \equiv 35 \mod 8 \] Simplificando \( 35 \mod 8 \): \[ 35 \div 8 = 4 \quad \text{(resto 3)} \] Portanto, \( x \equiv 3 \mod 8 \). 4. Encontrar as soluções naturais: Agora, precisamos encontrar as soluções naturais que são incongruentes módulo 24. As soluções da forma \( x = 3 + 8k \), onde \( k \) é um inteiro. Para \( k = 0 \): \( x = 3 \) Para \( k = 1 \): \( x = 11 \) Para \( k = 2 \): \( x = 19 \) Para \( k = 3 \): \( x = 27 \) (não é natural em módulo 24) Assim, as soluções naturais da congruência \( 21x \equiv 15 \mod 24 \) que são incongruentes módulo 24 são: - \( x = 3 \) - \( x = 11 \) - \( x = 19 \) Portanto, as soluções são \( 3, 11, 19 \).