Para determinar se o campo vetorial \( F = (y^2 \cos x + z^3)i + (2y \sen x - y)j + (3xz^2)k \) é conservativo, precisamos calcular o rotacional do campo vetorial. O rotacional é dado por: \[ \nabla \times F = \left( \frac{\partial F_k}{\partial y} - \frac{\partial F_j}{\partial z}, \frac{\partial F_i}{\partial z} - \frac{\partial F_k}{\partial x}, \frac{\partial F_j}{\partial x} - \frac{\partial F_i}{\partial y} \right) \] Calculando cada componente: 1. Componente x: \[ \frac{\partial F_k}{\partial y} = \frac{\partial (3xz^2)}{\partial y} = 0 \] \[ \frac{\partial F_j}{\partial z} = \frac{\partial (2y \sen x - y)}{\partial z} = 0 \] Portanto, a componente x do rotacional é \( 0 - 0 = 0 \). 2. Componente y: \[ \frac{\partial F_i}{\partial z} = \frac{\partial (y^2 \cos x + z^3)}{\partial z} = 3z^2 \] \[ \frac{\partial F_k}{\partial x} = \frac{\partial (3xz^2)}{\partial x} = 3z^2 \] Portanto, a componente y do rotacional é \( 3z^2 - 3z^2 = 0 \). 3. Componente z: \[ \frac{\partial F_j}{\partial x} = \frac{\partial (2y \sen x - y)}{\partial x} = 2y \cos x \] \[ \frac{\partial F_i}{\partial y} = \frac{\partial (y^2 \cos x + z^3)}{\partial y} = 2y \cos x \] Portanto, a componente z do rotacional é \( 2y \cos x - 2y \cos x = 0 \). Assim, temos que: \[ \nabla \times F = (0, 0, 0) \] Como o rotacional é zero, o campo é conservativo. Para calcular o trabalho realizado entre os pontos \( P(1, -2, 1) \) e \( Q(3, 1, 4) \), podemos usar a função potencial \( U \) associada ao campo. O trabalho \( W \) é dado por: \[ W = U(P) - U(Q) \] Como o problema não fornece a função potencial, não podemos calcular o trabalho diretamente. No entanto, sabemos que, em um campo conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Portanto, a resposta correta é que o campo é conservativo, mas o cálculo do trabalho não pode ser realizado sem a função potencial. Se houver alternativas específicas, por favor, forneça-as para que eu possa ajudar a escolher a correta.