A soma ( ) = +++ 2024 1k 1kkk1k 1 quando colocada sob a forma da fração irredutível b a , a soma ba+ é igual a : (A) 81 (B) 83 (C) 85 (D) 87 (E) 89

Para resolver essa questão, é necessário simplificar a expressão dada e encontrar a fração irredutível. Vamos calcular a soma: ∑(1 + 2k)/(1 + k) de k=1 até 2024 Para simplificar a expressão, podemos dividir numerador e denominador por k: = ∑(1/k + 2)/(1/k + 1) de k=1 até 2024 = ∑(1/k + 2)/(1 + 1/k) de k=1 até 2024 Agora, podemos separar a soma em duas partes: = ∑(1/k)/(1 + 1/k) + ∑(2)/(1 + 1/k) de k=1 até 2024 = ∑(1/k)/(1 + 1/k) + 2∑(1)/(1 + 1/k) de k=1 até 2024 Para a primeira parte, temos uma soma telescópica: ∑(1/k)/(1 + 1/k) = (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/2024 - 1/2025) = 1/2 - 1/2025 Para a segunda parte, também temos uma soma telescópica: 2∑(1)/(1 + 1/k) = 2(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/2024 - 1/2025) = 2(1 - 1/2025) = 2 - 2/2025 Portanto, a soma ba é igual a 1/2 - 1/2025 + 2 - 2/2025 = 85/2 - 3/2025 = 85*2025 - 3/4050 = (85*2025 - 3)/4050 = 171375 - 3/4050 = 171372/4050 Assim, a resposta correta é a alternativa: (C) 85