Para encontrar a derivada da função \( x^4 \cdot \ln(x) \), é necessário aplicar a regra do produto da derivada. Essa regra diz que a derivada do produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função, somada à primeira função vezes a derivada da segunda função. Dado que a primeira função é \( x^4 \) e a segunda função é \( \ln(x) \), a derivada da função \( x^4 \cdot \ln(x) \) será: \[ \frac{d}{dx} (x^4 \cdot \ln(x)) = x^4 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) + \ln(x) \cdot \frac{d}{dx}(x^4) \] A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \) e a derivada de \( x^4 \) é \( 4x^3 \). Substituindo na fórmula acima, temos: \[ x^4 \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \cdot 4x^3 = 4x^3 + x^3 \cdot \ln(x) \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( 4x^3 + x^3 \cdot \ln(x) \)