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Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?
a) \arctan(x) + C
b) \ln|x| + C
c) \frac{x}{x^2 + 1} + C
d) \arctan(x^2) + C
a) \arctan(x) + C
b) \ln|x| + C
c) \frac{x}{x^2 + 1} + C
d) \arctan(x^2) + C
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subimos juntos matematica XXIII
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ESTÁCIO

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Para resolver a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \), podemos fazer a substituição trigonométrica \( x = \tan(u) \). Assim, \( dx = \sec^2(u) \, du \) e \( x^2 + 1 = \tan^2(u) + 1 = \sec^2(u) \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{\sec^2(u)} \cdot \sec^2(u) \, du = \int du = u + C \] Como \( x = \tan(u) \), temos \( u = \arctan(x) \). Portanto, a resposta correta é: a) \( \arctan(x) + C \)

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