9. Qual é o valor de k tal que as raízes da equação x^2 - kx + 1 = 0 sejam recíprocas? a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 b) 1

Para encontrar o valor de k de modo que as raízes da equação \(x^2 - kx + 1 = 0\) sejam recíprocas, precisamos lembrar que as raízes recíprocas são números que, quando multiplicados, resultam em 1. Sejam as raízes da equação \(x^2 - kx + 1 = 0\) denotadas por \(x_1\) e \(x_2\). Sabemos que \(x_1 \cdot x_2 = 1\), pois as raízes são recíprocas. Pela relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática, temos que \(x_1 + x_2 = \frac{-(-k)}{1} = k\). Assim, se \(x_1 \cdot x_2 = 1\), temos que \(x_1 = \frac{1}{x_2}\). Substituindo na equação \(x_1 + x_2 = k\), obtemos: \(\frac{1}{x_2} + x_2 = k\) Multiplicando ambos os lados por \(x_2\), temos: \(1 + x_2^2 = kx_2\) Como \(x_1 \cdot x_2 = 1\), temos que \(x_2 = 1\). Substituindo na equação acima, obtemos: \(1 + 1 = k \cdot 1\) \(2 = k\) Portanto, o valor de \(k\) para que as raízes da equação sejam recíprocas é \(k = 2\). Assim, a alternativa correta é: a) 2.