28. Prove que a função é descont́ınua no número a e determine se a descontinuidade é remov́ıvel ou essencial. Se a descontinuidade for remov́ıvel, redefina f(a) de modo que a descontinuidade seja removida.

(a) a = 2/3; f(x) = (9x2 − 4) / (3x− 2)

(b) a = −3; f(x) = (x2 − x− 12) / (x2 + 2x− 3)

(c) a = 3; f(x) = |x− 3| se x 6= 3, 2 se x = 3

(d) a = 3; f(x) = (x2 − 4x+ 3) / (x− 3) se x 6= 3, 5 se x = 3

(e) a = 2; f(x) = x2 − 4 se x ≤ 2, x se x > 2

(f) a = 0; f(x) = √(x+ 5)− √(5) / x

Question

28. Prove que a função é descont́ınua no número a e determine se a descontinuidade é remov́ıvel ou essencial. Se a descontinuidade for remov́ı...

Ed · Answer

Para determinar se a função é descontínua no número $ a $ e se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos analisar cada uma das funções dadas nas alternativas.

Vamos analisar cada uma:

(a) $ a = \frac{2}{3}; f(x) = \frac{9x^2 - 4}{3x - 2} $  
A função é descontínua em $ x = \frac{2}{3} $ porque o denominador se anula. A descontinuidade é removível, pois podemos simplificar a função.

(b) $ a = -3; f(x) = \frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 2x - 3} $  
A função é descontínua em $ x = -3 $ porque o denominador se anula. A descontinuidade é removível, pois podemos fatorar e simplificar.

(c) $ a = 3; f(x) = |x - 3| $ se $ x \neq 3, 2 $ se $ x = 3 $  
A função é descontínua em $ x = 3 $ porque o valor da função não coincide com o limite. A descontinuidade é essencial.

(d) $ a = 3; f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3} $ se $ x \neq 3, 5 $ se $ x = 3 $  
A função é descontínua em $ x = 3 $ porque o denominador se anula. A descontinuidade é removível, pois podemos simplificar.

(e) $ a = 2; f(x) = x^2 - 4 $ se $ x \leq 2, x $ se $ x > 2 $  
A função é contínua em $ x = 2 $ porque os limites laterais coincidem.

(f) $ a = 0; f(x) = \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x} $  
A função é descontínua em $ x = 0 $ porque o denominador se anula. A descontinuidade é removível, pois podemos simplificar.

Analisando as alternativas, as que têm descontinuidade removível são (a), (b), (d) e (f). A que tem descontinuidade essencial é (c).

Portanto, a resposta correta para a questão é: **(c)**.

Ed · Answer

Para determinar se uma função é descontínua em um ponto e se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos analisar o comportamento da função nesse ponto.

Vamos analisar cada opção:

(a) a = 2/3; f(x) = (9x² - 4) / (3x - 2)
Neste caso, a função é descontínua em x = 2/3 devido a uma divisão por zero. A descontinuidade é removível se ao simplificar a função, o termo que causava a divisão por zero for cancelado.

(b) a = -3; f(x) = (x² - x - 12) / (x² + 2x - 3)
Neste caso, a função é descontínua em x = -3 devido a uma divisão por zero. A descontinuidade é removível se ao simplificar a função, o termo que causava a divisão por zero for cancelado.

(c) a = 3; f(x) = |x - 3| se x ≠ 3, 2 se x = 3
Neste caso, a função é descontínua em x = 3 devido à definição da função ser diferente para x = 3. A descontinuidade é removível se ao redefinir f(3) de forma que a função seja contínua nesse ponto.

(d) a = 3; f(x) = (x² - 4x + 3) / (x - 3) se x ≠ 3, 5 se x = 3
Neste caso, a função é descontínua em x = 3 devido a uma divisão por zero. A descontinuidade é removível se ao simplificar a função, o termo que causava a divisão por zero for cancelado.

(e) a = 2; f(x) = x² - 4 se x ≤ 2, x se x > 2
Neste caso, a função é contínua em x = 2, pois a definição da função é a mesma para x ≤ 2 e x > 2.

(f) a = 0; f(x) = √(x + 5) - √(5) / x
Neste caso, a função é descontínua em x = 0 devido a uma divisão por zero. A descontinuidade é removível se ao simplificar a função, o termo que causava a divisão por zero for cancelado.

Portanto, as opções (a), (b), (d) e (f) apresentam descontinuidades removíveis, enquanto a opção (c) apresenta uma descontinuidade que pode ser removida ao redefinir f(3) para tornar a função contínua nesse ponto.

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1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:
(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:
(a) f(-3)
(b) f(3x)
(c) f(3)/f(x)
(d) f(x-3)
(e) f(x)− f(3)
(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:
(a) g(-4)
(b) g(1/3)
(c) g(x^2)
(d) [g(x)]^2
(e) g(3x^2 - 4)
(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:
(a) f(-5)
(b) f(11/9)
(c) f(4-x)
(d) f(x)− f(h)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.
(a) f(x) = x/(3x-1)
(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)
(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)
(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)
(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)
(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.
(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|
(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)
(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)
(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1
(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x
(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3
(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F(x) = (x^2 + 1)^10
(b) F(x) = sin(sqrt(x))
(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)
(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2
(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x
(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.
(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x
(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2
(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2
(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x
(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x
(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)

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1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:(a) f(3)(b) f(x+ 1)(c) f(2x)(d) 2f(x)(e) f(x+ h)(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:(a) f(-3)(b) f(3x)(c) f(3)/f(x)(d) f(x-3)(e) f(x)− f(3)(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:(a) g(-4)(b) g(1/3)(c) g(x^2)(d) [g(x)]^2(e) g(3x^2 - 4)(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:(a) f(-5)(b) f(11/9)(c) f(4-x)(d) f(x)− f(h)(e) f(x+ h)(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.(a) f(x) = x/(3x-1)(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.(a) F(x) = (x^2 + 1)^10(b) F(x) = sin(sqrt(x))(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)

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(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:
(a) f(-3)
(b) f(3x)
(c) f(3)/f(x)
(d) f(x-3)
(e) f(x)− f(3)
(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:
(a) g(-4)
(b) g(1/3)
(c) g(x^2)
(d) [g(x)]^2
(e) g(3x^2 - 4)
(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:
(a) f(-5)
(b) f(11/9)
(c) f(4-x)
(d) f(x)− f(h)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.
(a) f(x) = x/(3x-1)
(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)
(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)
(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)
(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)
(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.
(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|
(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)
(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)
(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1
(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x
(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3
(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F(x) = (x^2 + 1)^10
(b) F(x) = sin(sqrt(x))
(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)
(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2
(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x
(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.
(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x
(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2
(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2
(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x
(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x
(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)