Grátis: Qual é o valor da soma da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? a) \( \frac{\pi^2}{6} \) b) 1 c) 2 d) \( \frac{\pi}{2} \) Respost... – Questões Respondidas

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Qual é o valor da soma da série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)?
a) \( \frac{\pi^2}{6} \)
b) 1
c) 2
d) \( \frac{\pi}{2} \)
Resposta: a) \( \frac{\pi^2}{6} \). Explicação: Esta é uma série famosa conhecida como a série de Basileia, que foi resolvida por Leonhard Euler. A soma converge para \( \frac{\pi^2}{6} \).

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A série infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) é conhecida como a série de Basileia, e sua soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). Essa solução foi encontrada por Leonhard Euler. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{\pi^2}{6} \).

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Qual é o valor da integral definida \( \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
b) 3. Explicação: A integral de um polinômio é obtida aplicando a regra do aumento do expoente e, em seguida, avaliando nos limites. Temos \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x \). Então, avaliamos \[x^3 + x^2 + x]_0^1 = (1^3 + 1^2 + 1) - (0 + 0 + 0) = 1 + 1 + 1 = 3 \].

Se \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) e \( B = \{3, 4, 5, 6\} \), qual é a interseção \( A \cap B \)?
a) \{1, 2\}
b) \{3, 4\}
c) \{5, 6\}
d) \{1, 2, 5, 6\}
Resposta: b) \{3, 4\}. Explicação: A interseção de dois conjuntos consiste nos elementos que aparecem em ambos. Os elementos comuns entre \( A \) e \( B \) são apenas 3 e 4, assim, a interseção é \{3, 4\}.

Qual é o resultado de \( \frac{d}{dx}(\ln x^2) \)?
a) \( \frac{1}{x} \)
b) \( \frac{2}{x} \)
c) \( \frac{1}{2x} \)
d) \( 2 \cdot \frac{1}{x} \)
Resposta: b) \( \frac{2}{x} \). Explicação: Usando a propriedade dos logaritmos \( \ln(x^2) = 2\ln x \). Portanto, a derivada é \( 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \).

Qual é a matriz inversa da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)?
a) \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \)
b) \( \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \)
c) \( \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \)
d) \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \)
Resposta: a) \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \). Explicação: A matriz inversa é dada pela fórmula \( \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \). Para \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \), temos \( ad - bc = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \), então \( A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \).

Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \)?
a) \( y = e^x + C \)
b) \( y = Ce^x \)
c) \( y = x + C \)
d) \( y = Cx \)
Resposta: b) \( y = Ce^x \). Explicação: A equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \) é separável. Integrando ambos os lados resulta em \( \ln |y| = x + C \), ou seja, \( y = e^{x+C} = Ce^x \).