53. A função \(f(x) = 4(\sin(x))^3\) possui a derivada: a) 12\sin^2 x \cos x b) 4(\sin^3 x + 3\cos^3 x) c) 12\sin^3 x d) Não existe

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = 4(\sin(x))^3\), podemos aplicar a regra da cadeia. A derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\), então ao derivar \((\sin(x))^3\), obtemos \(3(\sin(x))^2 \cos(x)\) pela regra da potência. Assim, a derivada da função \(f(x) = 4(\sin(x))^3\) é: \[f'(x) = 4 \cdot 3(\sin(x))^2 \cos(x) = 12(\sin(x))^2 \cos(x)\] Portanto, a alternativa correta é: a) 12\sin^2 x \cos x