aprendendo e fazendo XXXI

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b) \(\frac{1}{n}\) 
c) \(\frac{1}{1+n}\) 
d) \(\frac{1}{2}\) 
Resposta: c) \(\frac{1}{n+1}\) 
Explicação: Encontramos \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\). Avaliando isso de 0 a 1, resulta 
em \(\frac{1}{n+1} - 0 = \frac{1}{n+1}\). 
 
43. Determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\) resulta em: 
a) \(\infty\) 
b) 0 
c) 1 
d) Não existe 
Resposta: b) 0 
Explicação: A exponencial cresce muito mais rapidamente que um polinômio. Assim, temos 
que usar a regra de L'Hôpital. O resultado final revela que ao buscar limites, a fração se torna 
zero. 
 
44. Se \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1\), qual é a condição de extrema? 
a) \(x = -2\) 
b) \(x = 0\) 
c) \(x = 1\) 
d) Não existe 
Resposta: a) \(x = -2\) 
Explicação: Para encontrar extremos, igualamos \(f'(x) = 0\) ao derivar. Assim, a função cúbica 
leva a um valor específico em \(x = -2\), que atende a tais condições. 
 
45. Calcule a derivada \(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - \sin(x) \right)\): 
a) \(x^2 - \cos(x)\) 
b) \(\cos(x)\) 
c) \(3x^2\) 
d) \(2x\) 
Resposta: a) \(x^2 - \cos(x)\) 
Explicação: Derivando a função, temos respectivamente: \(f'(x) = x^2 - \cos(x)\) com base na 
regra da potência e a derivativa do seno. 
 
46. O que é \( \int e^{x^2} dx\)? 
a) Não pode ser expresso 
b) \(2e^{x}\) 
c) \( e^{x^2}\) 
d) \(\frac{1}{2} e^{x^2}\) 
Resposta: a) Não pode ser expresso 
Explicação: A integral de \(e^{x^2}\) não possui uma expressão elementar e é representada por 
funções especiais como a função erro. 
 
47. A integral definida de \(x^{-1}\) entre 1 e 2 é: 
a) \(\ln(2) - \ln(1)\) 
b) \(\ln(1)\) 
c) \(\ln(1)\) 
d) 0 
Resposta: a) \(\ln(2) - \ln(1)\) 
Explicação: A integral \(\int\frac{1}{x}\,dx\) nos dá \(\ln|x| + C\). Portanto atacando pontos [1-
2], temos que é dado por \(\ln(2)\). 
 
48. A integral de \(f(x) = \sqrt{x}\) é: 
a) \(\frac{2}{3}x^{3/2} + C\) 
b) \(\frac{1}{3}x^{1/2} + C\) 
c) \(\frac{1}{3}x^{3/2} + C\) 
d) \(\frac{2}{3}x + C\) 
Resposta: a) \(\frac{2}{3}x^{3/2} + C\) 
Explicação: Integrando \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), obtemos a primitiva dada é \(\frac{2}{3}x^{3/2} + 
C\). 
 
49. O que é a integral de \(f(x) = \sin^2(x)\)? 
a) \(-\cos^2(x)\) 
b) \(\frac{x}{2} -\frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
c) \(-\frac{1}{2}+\cos(2x)\) 
d) \(\frac{x}{2}\) 
Resposta: b) \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C\) 
Explicação: Para integrar \(\sin^2(x)\) usa-se a identidade de ângulo duplo, resultando na 
resposta apresentada. 
 
50. Se \(f(x) = 3x^2 + 4x + 1\), onde está o máximo e mínimo? 
a) Máximo em -3 
b) Mínimo em -3 
c) Mínimo em 0 
d) Não existem 
Resposta: c) Mínimo em 0 
Explicação: O ponto de mínimo em uma parábola quadrática se encontra em \(x = -
\frac{b}{2a}\), então temos um mínimo no valor \(0\). 
 
51. O que representa o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)? 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) Infinito 
Resposta: c) 2 
Explicação: Factorizando \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), vemos que o limite se reduz ao valor \(2\) ao 
substituir \(x = 1\). 
 
52. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) Infinito 
Resposta: c) 2 
Explicação: Utilizando a regra conhecida, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\), portanto o 
valor fica claro. 
 
53. A função \(f(x) = 4(\sin(x))^3\) possui a derivada: 
a) \(12\sin^2 x \cos x\) 
b) \(4(\sin^3 x + 3\cos^3 x)\) 
c) \(12\sin^3 x\) 
d) Não existe 
Resposta: a) \(12\sin^2(x) \cos(x)\) 
Explicação: Ao aplicar a regra da cadeia, a função derivada é retirada levando a uma derivada 
suces. 
 
54. O que representa a integral de \(f(x) = \frac{1}{x - 4}\)? 
a) \(\ln|x - 4| + C\) 
b) \(\frac{1}{x} + C\) 
c) \(x + C\) 
d) \(-\frac{1}{x - 4} + 4C\) 
Resposta: a) \(\ln|x - 4| + C\) 
Explicação: Integrando \(\frac{1}{u}\) resulta em \(\ln|u| + C\). 
 
55. O que é o máximo e mínimo para funções monótonas lineares? 
a) Sempre existe 
b) Não existe 
c) Preserva as condições 
d) Não Reza 
Resposta: b) Não existe 
Explicação: Uma função linear não possui máximos nem mínimos porque se estende em 
infinitos valores. 
 
56. Calcule a integral de \(1 \Rightarrow \int x \, dx = c\) 
a) 1 
b) \( \frac{1}{2}x^{2} + C\)