Para calcular o produto escalar entre os vetores \( \vec{u} = \langle 1, 2, -1 \rangle \) e \( \vec{w} \), precisamos primeiro determinar o vetor \( \vec{w} \) a partir da integral dada. A função \( \vec{F}(t) \) é dada por: \[ \vec{F}(t) = \langle 2t + 1, 3t^2, 5 \rangle \] Agora, vamos calcular \( \vec{w} = \int_0^1 \vec{F}(t) \, dt \): \[ \vec{w} = \int_0^1 \langle 2t + 1, 3t^2, 5 \rangle \, dt = \left\langle \int_0^1 (2t + 1) \, dt, \int_0^1 3t^2 \, dt, \int_0^1 5 \, dt \right\rangle \] Calculando cada componente: 1. Para a primeira componente: \[ \int_0^1 (2t + 1) \, dt = \left[ t^2 + t \right]_0^1 = 1^2 + 1 - (0 + 0) = 2 \] 2. Para a segunda componente: \[ \int_0^1 3t^2 \, dt = \left[ t^3 \right]_0^1 = 1^3 - 0 = 1 \] 3. Para a terceira componente: \[ \int_0^1 5 \, dt = 5t \bigg|_0^1 = 5(1) - 5(0) = 5 \] Assim, temos: \[ \vec{w} = \langle 2, 1, 5 \rangle \] Agora, vamos calcular o produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{w} \): \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = \langle 1, 2, -1 \rangle \cdot \langle 2, 1, 5 \rangle = (1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) + (-1 \cdot 5) \] \[ = 2 + 2 - 5 = -1 \] Portanto, o produto escalar entre os vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{w} \) é \(-1\).