Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA): \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)r) \] onde: - \( S_n \) é a soma dos n primeiros termos, - \( a \) é o primeiro termo, - \( r \) é a razão, - \( n \) é o número de termos. 1. Soma dos 50 primeiros termos: \[ S_{50} = \frac{50}{2} \times (2a + (50 - 1)r) = 200 \] Simplificando: \[ 25 \times (2a + 49r) = 200 \] \[ 2a + 49r = 8 \quad \text{(Equação 1)} \] 2. Soma dos 50 seguintes termos (do 51º ao 100º): A soma dos próximos 50 termos é: \[ S_{100} - S_{50} = 2700 \] Onde \( S_{100} \) é a soma dos 100 primeiros termos: \[ S_{100} = \frac{100}{2} \times (2a + (100 - 1)r) = 50 \times (2a + 99r) \] Portanto: \[ 50 \times (2a + 99r) - 200 = 2700 \] Simplificando: \[ 50 \times (2a + 99r) = 2900 \] \[ 2a + 99r = 58 \quad \text{(Equação 2)} \] 3. Sistema de Equações: Agora temos um sistema de duas equações: - \( 2a + 49r = 8 \) (Equação 1) - \( 2a + 99r = 58 \) (Equação 2) Subtraindo a Equação 1 da Equação 2: \[ (2a + 99r) - (2a + 49r) = 58 - 8 \] \[ 50r = 50 \] \[ r = 1 \] 4. Encontrando o primeiro termo: Substituindo \( r = 1 \) na Equação 1: \[ 2a + 49 \times 1 = 8 \] \[ 2a + 49 = 8 \] \[ 2a = 8 - 49 \] \[ 2a = -41 \] \[ a = -20.5 \] Resposta Final: - Primeiro termo \( a = -20,5 \) - Razão \( r = 1 \)