Construa o gráfico de um período da função f: R ➞ R tal que f(x) = 1 - 2cos(1/2x + 2p/3).

Para construir o gráfico de um período da função \( f(x) = 1 - 2\cos\left(\frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3}\right) \), siga os passos abaixo: 1. Identifique a forma da função: A função é uma transformação do cosseno. A forma geral é \( f(x) = A \cos(Bx + C) + D \), onde: - \( A = -2 \) (amplitude) - \( B = \frac{1}{2} \) (determina o período) - \( C = \frac{2\pi}{3} \) (fase) - \( D = 1 \) (translação vertical) 2. Calcule o período: O período \( T \) da função cosseno é dado por \( T = \frac{2\pi}{|B|} \). Portanto: \[ T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \] 3. Determine os pontos-chave: Para um período de \( 4\pi \), você pode calcular os valores de \( f(x) \) em pontos importantes, como: - \( x = 0 \) - \( x = \frac{4\pi}{4} = \pi \) - \( x = \frac{8\pi}{4} = 2\pi \) - \( x = \frac{12\pi}{4} = 3\pi \) - \( x = \frac{16\pi}{4} = 4\pi \) 4. Calcule os valores de \( f(x) \): - Para \( x = 0 \): \[ f(0) = 1 - 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \] - Para \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] - Para \( x = 2\pi \): \[ f(2\pi) = 1 - 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \] - Para \( x = 3\pi \): \[ f(3\pi) = 1 - 2\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] - Para \( x = 4\pi \): \[ f(4\pi) = 1 - 2\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \] 5. Desenhe o gráfico: Com os pontos calculados, você pode desenhar o gráfico da função. Os pontos são: - \( (0, 2) \) - \( (\pi, 0) \) - \( (2\pi, 2) \) - \( (3\pi, 0) \) - \( (4\pi, 2) \) O gráfico terá uma forma de onda, oscilando entre 0 e 2, com um período de \( 4\pi \).