Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz

Para resolver a integral tripla \(\int_0^1 \int_0^2 \int_0^{1-z} dy \, dx \, dz\), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \(y\): \[ \int_0^{1-z} dy = [y]_0^{1-z} = 1 - z \] 2. Substituir na integral: Agora, substituímos o resultado na integral em relação a \(x\): \[ \int_0^1 \int_0^2 (1 - z) \, dx \, dz \] 3. Calcular a integral em relação a \(x\): \[ \int_0^2 (1 - z) \, dx = (1 - z) \cdot [x]_0^2 = (1 - z) \cdot 2 = 2(1 - z) \] 4. Substituir na integral em relação a \(z\): Agora, temos: \[ \int_0^1 2(1 - z) \, dz \] 5. Calcular a integral em relação a \(z\): \[ \int_0^1 2(1 - z) \, dz = 2 \left[ z - \frac{z^2}{2} \right]_0^1 = 2 \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Portanto, o valor da integral tripla é \(1\).