Considere o operador linear T, dado por T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)�:�2→�2, �� (�,�,�)=(3�+�,2�+2�). De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de T�: Nota: 0.0Você não pontuou essa questão

A λ1=2 e λ2=3�1=2 � �2=3
B λ1=3 e λ2=1�1=3 � �2=1
C λ1=4 e λ2=1�1=4 � �2=1
D λ1=−2 e λ2=2�1=−2 � �2=2
E λ1=5 e λ2=2�1=5 � �2=2

Question

Considere o operador linear T, dado por T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)�:�2→�2, ��� �(�,�,�)=(3�+�,2�+2�). De acordo com as informações acima e ...

Ed · Answer

Para encontrar os autovalores do operador linear $ T $ dado por $ T(x, y) = (3x + y, 2x + 2y) $, precisamos primeiro representar $ T $ na forma de uma matriz.

A matriz associada ao operador $ T $ é:

$$
A = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
2 & 2
\end{pmatrix}
$$

Os autovalores $ \lambda $ são encontrados resolvendo a equação característica:

$$
\text{det}(A - \lambda I) = 0
$$

onde $ I $ é a matriz identidade. Assim, temos:

$$
A - \lambda I = \begin{pmatrix}
3 - \lambda & 1 \
2 & 2 - \lambda
\end{pmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
\text{det}(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(2 - \lambda) - (2)(1) = (3 - \lambda)(2 - \lambda) - 2
$$

Expandindo:

$$
= 6 - 3\lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4
$$

Agora, igualamos a zero:

$$
\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0
$$

Resolvendo essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:

$$
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}
$$

Isso nos dá:

$$
\lambda_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{2}{2} = 1
$$

Portanto, os autovalores de $ T $ são $ \lambda_1 = 4 $ e $ \lambda_2 = 1 $.

A alternativa correta é: **C $ \lambda_1 = 4 $ e $ \lambda_2 = 1 $**.

Ed · Answer

Analisando a questão, temos que encontrar os autovalores do operador linear T. Os autovalores são os valores de λ para os quais existe um vetor não nulo (autovetor) tal que T(v) = λv.

Dado que T(x,y) = (3x+y, 2x+2y), podemos representar a matriz associada a esse operador linear:

|3 1|
|2 2|

Para encontrar os autovalores, calculamos det(T - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Assim, temos:

|3-λ 1|
|2 2-λ| = (3-λ)(2-λ) - 2 = 0
(3-λ)(2-λ) - 2 = 0
6 - 5λ + λ^2 - 2 = 0
λ^2 - 5λ + 4 = 0
(λ-4)(λ-1) = 0

Portanto, os autovalores são λ1 = 4 e λ2 = 1.

Assim, a alternativa correta é: C) λ1=4 e λ2=1.

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De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:

A x=−32�=−32
B x=−18�=−18
C x=−25�=−25
D x=−22�=−22
E x=−20�=−20

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