Determine a família de funções representada por ∫ dx/(36(x−1)(x+5)^2), k real. + ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k/6x+5 + ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k/6x+5

Para determinar a família de funções representada por ∫ dx/(36(x−1)(x+5)^2), k real, podemos simplificar a expressão da seguinte forma: ∫ dx/(36(x−1)(x+5)^2) = ∫ [A/(x-1) + B/(x+5) + C/(x+5)^2] dx Resolvendo as integrais parciais, obtemos: A = 1/36 B = -1/36 C = 1/216 Assim, a integral pode ser reescrita como: ∫ dx/(36(x−1)(x+5)^2) = ∫ [1/(36(x-1)) - 1/(36(x+5)) + 1/(216(x+5)^2)] dx E, finalmente, a família de funções representada por essa expressão é: ln|x− 1| − ln|x+ 5| + k/6(x+5)