Para determinar os valores de α e β de modo que o vetor \( \mathbf{v} = (-1, 5) \) seja uma combinação linear dos vetores \( \mathbf{u} = (1, 2) \) e \( \mathbf{w} = (-1, 3) \), precisamos resolver a seguinte equação: \[ \alpha \cdot \mathbf{u} + \beta \cdot \mathbf{w} = \mathbf{v} \] Substituindo os vetores, temos: \[ \alpha \cdot (1, 2) + \beta \cdot (-1, 3) = (-1, 5) \] Isso resulta em um sistema de equações: 1. \( \alpha - \beta = -1 \) (equação das componentes x) 2. \( 2\alpha + 3\beta = 5 \) (equação das componentes y) Agora, vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar \( \beta \) em termos de \( \alpha \): \[ \beta = \alpha + 1 \] Substituindo na segunda equação: \[ 2\alpha + 3(\alpha + 1) = 5 \] Resolvendo: \[ 2\alpha + 3\alpha + 3 = 5 \] \[ 5\alpha + 3 = 5 \] \[ 5\alpha = 2 \] \[ \alpha = \frac{2}{5} \] Agora, substituindo o valor de \( \alpha \) na equação para \( \beta \): \[ \beta = \frac{2}{5} + 1 = \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{7}{5} \] Portanto, os valores de \( \alpha \) e \( \beta \) são: \[ \alpha = \frac{2}{5} \quad \text{e} \quad \beta = \frac{7}{5} \] A resposta correta é: \( \alpha = \frac{2}{5} \) e \( \beta = \frac{7}{5} \).