QUESTÃO 4 (ESA) A soma dos valores de m que satisfazem a ambas as igualdades é: sen x = m+ 1 m cos x = m+ 2 m a) 5 b) 6 c) 4 d) −4 e) −6

Para resolver essa questão, é necessário igualar as duas igualdades dadas e encontrar o valor de \( m \) que satisfaça ambas as condições. Dadas as igualdades: \[ \sin(x) = \frac{m+1}{m} \] \[ \cos(x) = \frac{m+2}{m} \] Podemos usar a identidade trigonométrica fundamental \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) para resolver o problema. Substituindo as expressões dadas para \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) na identidade trigonométrica, temos: \[ \left(\frac{m+1}{m}\right)^2 + \left(\frac{m+2}{m}\right)^2 = 1 \] \[ \frac{(m+1)^2}{m^2} + \frac{(m+2)^2}{m^2} = 1 \] \[ \frac{m^2 + 2m + 1 + m^2 + 4m + 4}{m^2} = 1 \] \[ \frac{2m^2 + 6m + 5}{m^2} = 1 \] \[ 2m^2 + 6m + 5 = m^2 \] \[ m^2 - 6m - 5 = 0 \] Resolvendo a equação quadrática acima, obtemos duas soluções possíveis para \( m \): \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} \] \[ m = 3 \pm \sqrt{14} \] Portanto, a soma dos valores de \( m \) que satisfazem ambas as igualdades é: \[ 3 + \sqrt{14} + 3 - \sqrt{14} = 6 \] Assim, a alternativa correta é: b) 6.