Para discutir a convergência das integrais impróprias, vamos analisar cada uma das opções apresentadas: a) \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\), \(p \in \mathbb{R}\): - Converge se \(p > 1\) e diverge se \(p \leq 1\). b) \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx\), \(p > 0\): - Diverge para \(p \geq 1\) e converge para \(0 < p < 1\). c) \(\int_{1}^{\infty} \frac{e^x}{x^2} dx\): - Diverge, pois \(e^x\) cresce mais rápido que \(x^2\). d) \(\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx\): - Converge, pois \(\frac{\sin^2 x}{x^2}\) se comporta como \(\frac{1}{x^2}\) para grandes \(x\). e) \(\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x + 2}{x} dx\): - Diverge, pois \(\frac{\cos x + 2}{x}\) não converge. f) \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^3 + 2}} dx\): - Converge, pois se comporta como \(\frac{1}{x}\) para grandes \(x\). g) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} \sin x dx\): - Diverge, pois \(\frac{1}{x}\) diverge em \(x = 0\). h) \(\int_{-\infty}^{\infty} x dx\): - Diverge, pois não tem limite. i) \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\): - Converge, é a integral da função gaussiana. j) \(\int_{0}^{1} e^{-x} x dx\): - Converge, pois é uma função contínua e limitada. k) \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\), \(p \in \mathbb{R}\): - Converge se \(p > 1\) e diverge se \(p \leq 1\). l) \(\int_{0}^{\infty} (x^2 + 3x^4 + 5x + 6) dx\): - Diverge, pois o polinômio cresce indefinidamente. Resumindo: - As integrais que convergem são: b) (para \(0 < p < 1\)), d), f), i), j). - As que divergem são: a) (para \(p \leq 1\)), c), e), g), h), k) (para \(p \leq 1\)), l). Se precisar de mais detalhes sobre alguma integral específica, é só avisar!