Para mostrar que \( PA_1 + PA_2 + ... + PA_n = 0 \), considere que os vértices \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) de um polígono regular de \( n \) lados estão distribuídos uniformemente ao redor do ponto \( P \). 1. Representação Vetorial: Cada vetor \( PA_i \) pode ser representado em coordenadas polares, onde os ângulos são múltiplos de \( \frac{2\pi}{n} \). 2. Soma dos Vetores: A soma dos vetores pode ser expressa como: \[ PA_1 + PA_2 + ... + PA_n = \sum_{k=0}^{n-1} \vec{PA_k} \] onde \( \vec{PA_k} \) é o vetor do ponto \( P \) até o vértice \( A_k \). 3. Propriedade de Simetria: Devido à simetria do polígono regular, a soma dos vetores que apontam para os vértices se cancela. Isso ocorre porque para cada vetor \( PA_k \), existe um vetor \( PA_{k + \frac{n}{2}} \) que é igual em magnitude, mas oposto em direção. 4. Resultado Final: Portanto, a soma total dos vetores é igual a zero: \[ PA_1 + PA_2 + ... + PA_n = 0 \] Assim, a afirmação está provada.