Grátis: 5. Seja −→F (x, y) = Q(x, y) −→j. Suponha que, para todo (x, y) ∈ R2, ∂Q/∂x (x, y) > 0. (a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. (b) C...

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5. Seja −→F (x, y) = Q(x, y) −→j. Suponha que, para todo (x, y) ∈ R2, ∂Q/∂x (x, y) > 0. (a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas. (b) Calcule rot −→F.

Praticando Para o Saber

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1. Calcule (a) ∫ γ (x−y)dx+ex+ydy, onde γ é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

(b) ∫ γ dx+dy, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0), A1 = (1, 2), A2 = (−1, 3), A3 = (−2, 1) e A4 = (−1, 1), sendo γ orientada de A0 para A4.

(c) ∫ γ y2dx + xdy − dz, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0, 0), A1 = (1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), sendo γ orientada de A0 para A2.

2. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P (x, y) = x2 − y e Q(x, y) = x2 + y.

3. Sejam B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy.

4. Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices (−1,−1), (1,−1), (1, 1) e (−1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

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1. Calcule (a) ∫ γ (x−y)dx+ex+ydy, onde γ é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

(b) ∫ γ dx+dy, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0), A1 = (1, 2), A2 = (−1, 3), A3 = (−2, 1) e A4 = (−1, 1), sendo γ orientada de A0 para A4.

(c) ∫ γ y2dx + xdy − dz, onde γ é a poligonal de vértices A0 = (0, 0, 0), A1 = (1, 1, 1) e A2 = (1, 1, 0), sendo γ orientada de A0 para A2.

2. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P (x, y) = x2 − y e Q(x, y) = x2 + y.

3. Sejam B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ Pdx+Qdy = ∫∫ B (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy.

4. Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices (−1,−1), (1,−1), (1, 1) e (−1, 1) e γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

6. Considere o campo de força central −→g (x, y) = f(||−→r ||)−→r, onde f : R → R é uma função derivável e −→r = x −→i + y −→j. Calcule rot−→g.

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