Sendo y = c * 1ex + c2e - x solução geral para y^ prime prime - y = 0 , no intervalo (∞, - ∞) encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0 y' * (0) = 1

a)

y = 1/2 * e ^ x - 1/2 * e ^ (- x)

b)

y = 2e ^ z - e ^ (- x)

c)

y = 1/2 * e ^ x - e ^ (- x)

d)

y = e ^ x + e ^ (- z)

e)

y= -1 2 .e^ x + 1 2 . e ^ (- x)

Question

Sendo y = c * 1ex + c2e - x solução geral para y^ prime prime - y = 0 , no intervalo (∞, - ∞) encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = ...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $ y'' - y = 0 $ com a solução geral dada por $ y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} $, precisamos aplicar as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y'(0) = 1 $.

1. **Aplicando a condição inicial $ y(0) = 0 $**:
   $$
   y(0) = c_1 e^0 + c_2 e^0 = c_1 + c_2 = 0 \quad \text{(1)}
   $$

2. **Calculando a derivada $ y' $**:
   $$
   y' = c_1 e^x - c_2 e^{-x}
   $$

Agora, aplicamos a condição inicial $ y'(0) = 1 $:
   $$
   y'(0) = c_1 e^0 - c_2 e^0 = c_1 - c_2 = 1 \quad \text{(2)}
   $$

3. **Resolvendo o sistema de equações**:
   Da equação (1), temos $ c_2 = -c_1 $. Substituindo na equação (2):
   $$
   c_1 - (-c_1) = 1 \implies 2c_1 = 1 \implies c_1 = \frac{1}{2}
   $$
   Portanto, $ c_2 = -\frac{1}{2} $.

4. **Substituindo os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $ na solução geral**:
   $$
   y = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x}
   $$

Agora, analisando as alternativas:

a) $ y = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} $ - **Correta**.

b) $ y = 2e^z - e^{-x} $ - Incorreta.

c) $ y = \frac{1}{2} e^x - e^{-x} $ - Incorreta.

d) $ y = e^x + e^{-z} $ - Incorreta.

e) $ y = -\frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} $ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é: **a)** $ y = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} $.

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