Para resolver a equação diferencial \( y + 2y' - 3 = 0 \) e encontrar uma solução que atenda às condições de contorno dadas, vamos seguir os passos: 1. Identificar a solução geral: Sabemos que \( y = e^x \) e \( y = e^{-3x} \) são soluções. A solução geral da equação diferencial pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções: \[ y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} \] 2. Encontrar a derivada: \[ y'(x) = C_1 e^x - 3C_2 e^{-3x} \] 3. Aplicar a condição de contorno \( y(0) = 2 \): \[ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = C_1 + C_2 = 2 \quad (1) \] 4. Aplicar a condição de contorno \( y'(1) = e - 3e^{-3} \): \[ y'(1) = C_1 e^1 - 3C_2 e^{-3} = C_1 e - 3C_2 e^{-3} = e - 3e^{-3} \quad (2) \] 5. Resolver o sistema de equações: - Da equação (1): \( C_1 + C_2 = 2 \) - Da equação (2): \( C_1 e - 3C_2 e^{-3} = e - 3e^{-3} \) Substituindo \( C_1 = 2 - C_2 \) na equação (2): \[ (2 - C_2)e - 3C_2 e^{-3} = e - 3e^{-3} \] Simplificando: \[ 2e - C_2 e - 3C_2 e^{-3} = e - 3e^{-3} \] \[ 2e - e = C_2 e - 3C_2 e^{-3} - 3e^{-3} \] \[ e = C_2(e - 3e^{-3}) \] Portanto: \[ C_2 = \frac{e}{e - 3e^{-3}} \] 6. Substituir \( C_2 \) para encontrar \( C_1 \): \[ C_1 = 2 - C_2 = 2 - \frac{e}{e - 3e^{-3}} \] 7. A solução final: Substitua \( C_1 \) e \( C_2 \) na expressão da solução geral: \[ y(x) = \left(2 - \frac{e}{e - 3e^{-3}}\right)e^x + \frac{e}{e - 3e^{-3}}e^{-3x} \] Assim, você terá a solução que atende às condições de contorno dadas.