Para determinar se o conjunto \( V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\} \) é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar três condições: 1. Contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^3 \) é \( (0, 0, 0) \). Para \( (0, 0, 0) \) temos \( 0 + 0 + 0 = 0 \), então ele pertence a \( V \). 2. Fechamento sob adição: Se \( u = (x_1, y_1, z_1) \) e \( v = (x_2, y_2, z_2) \) estão em \( V \), então \( x_1 + y_1 + z_1 = 0 \) e \( x_2 + y_2 + z_2 = 0 \). A soma \( u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \) deve satisfazer \( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = 0 \), o que é verdade, então \( V \) é fechado sob adição. 3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Para um escalar \( c \) e um vetor \( u = (x, y, z) \in V \), temos \( c \cdot u = (c \cdot x, c \cdot y, c \cdot z) \). A soma \( c \cdot x + c \cdot y + c \cdot z = c(x + y + z) = c \cdot 0 = 0 \), então \( V \) é fechado sob multiplicação por escalar. Dado que \( V \) contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que \( V \) é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \). Agora, analisando as alternativas: a) V não é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) porque não contém o vetor nulo. (Incorreta, pois contém o vetor nulo.) b) V é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) porque é um plano que passa pela origem. (Correta, pois é um plano que passa pela origem e atende às condições de subespaço.) c) V não é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) porque não é fechado para a adição. (Incorreta, pois é fechado para adição.) d) V é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) somente se x, y e z forem todos não nulos. (Incorreta, pois não é necessário que x, y e z sejam não nulos.) e) V não é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) porque não é fechado para a multiplicação por escalar. (Incorreta, pois é fechado para multiplicação por escalar.) Portanto, a alternativa correta é: b) V é um subespaço vetorial de \( \mathbb{R}^3 \) porque é um plano que passa pela origem.