Para resolver a equação diferencial \( y'' + 2y' - 3y = 0 \), vamos assumir uma solução da forma \( y = e^{rx} \). 1. Substituição: Derivamos \( y \): - \( y' = re^{rx} \) - \( y'' = r^2 e^{rx} \) 2. Substituindo na equação: \[ r^2 e^{rx} + 2re^{rx} - 3e^{rx} = 0 \] 3. Fatorando \( e^{rx} \) (que nunca é zero): \[ r^2 + 2r - 3 = 0 \] 4. Resolvendo a equação quadrática: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Assim, temos: \[ r_1 = 1 \quad \text{e} \quad r_2 = -3 \] 5. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. Essa é a solução geral para a equação diferencial dada!