Equações Diferenciais: Soluções Gerais

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Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada 
por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3
Nota: 20.0
A y=√ 4x39−2x+2c3 y=4x39−2x+2c3
Você acertou!
Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação
 e obter
3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos
y=√ 4x93−2x+2c3 y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema.
B y=4x3−2xy=4x3−2x
C y=x5−6y=x5−6
D y=3x+exy=3x+ex
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por
(1+y)dy−xdx=0(1+y)dy−xdx=0.
Nota: 20.0
A 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0
Você acertou!
No método de solução para equações separáveis, basta integrar a expressão no formato padrão.
Assim, após a integração obtemos y+y22−x22+c=0y+y22−x22+c=0.
Multiplicando por 2 essa equação, temos 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0.
B x+5y+xy=2x+5y+xy=2
C 2y+x2=32y+x2=3
D x2+y2=0x2+y2=0
y+y2−x2−3=0y+y2−x2−3=0
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Seja a equação diferencial dydx=3x2ydydx=3x2y. Analise as setenças a 
seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
alternativas falsas:
1. ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação linear;
2. ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação não linear;
3. ( ) Se dydx=3x2ydydx=3x2y, então y=ex3y=ex3 é uma solução 
para a equação.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
A V,F,V
B F,V,V
A afirmativa I é falsa e a II é verdadeira, pois dydx=3x2ydydx=3x2y possui o produto x² que
 é um termo não linear.
A afirmativa III é verdadeira, pois ao derivarmos y=ex3y=ex3, temos
dydx=3x2ex3dydx=3x2ex3
Como y=ex3y=ex3, podemos substituir esse valor no resultado dessa derivação. Assim teremos
dydx=3x2ydydx=3x2y que é a equação diferencial apresentada no problema.
C V,F,F
D F,V,F
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′
+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores integrantes.
Nota: 20.0
A y=x+lnxy=x+lnx
B y=ex+cy=ex+c
C y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c
D y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t
Você acertou!
Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja,
 μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos
y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema.
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Para modelar uma equação diferencial de crescimento de uma população P 
que cresce a uma taxa proporcional à população inicial, podemos utilizar a 
equação dPdt=kPdPdt=kP, onde k é uma constante de proporcionalidade.
Como estamos falando do crescimento da população, analise as setenças a
seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
alternativas falsas:
1. ( ) k>0k>0
2. ( ) dPdt<0dPdt<0
3. ( ) dPdt>0dPdt>0
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
A F,F,F
B F,F,V
C V,F,V
Você acertou!
Afirmativas I e III são verdadeiras, pois o modelo trata de uma taxa de crescimento da população P.
D F,V,V
Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução de y′
−12y=4y −12y=4′ no ponto inicial y(0)=1y(0)=1
Nota: 20.0
A y=tet−ty=tet−t
B y=e−2t+2ety=e−2t+2et
C y=−13+4e12t3y=−13+4e12t3
Você acertou!
D y=(1−t)ety=(1−t)et
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como 
solução y1=x3y1=x3.
Nota: 20.0
A y′′+1=0y″+1=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1) =6‴=6
Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos:
6x+1=06x+1=0
Essa igualdade não é verdadeira.
B xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y 2=0‴=6
Você acertou!
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1) =6‴=6
Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y 2=0‴=6 , temos:
x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira,
 pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero.
C y′′′=0y =0‴=6
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1) =6‴=6
Substituindo esses valores em y′′′=0y =0‴=6 , temos:
6=06=0
Essa igualdade não é verdadeira.
D y′′′+y′=0y +y′=0‴=6
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1) =6‴=6
Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y +y′=0‴=6 , temos:
6+3x2=06+3x2=0
Essa igualdade não é verdadeira.
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de y′
−5y=−25xy −5y=−25x′
Nota: 20.0
A y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
Você acertou!
Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, 
podemos utilizar a fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=
e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=
e∫P(x)dx=e∫−5dx
Assim, temos que 
(e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x
integrando em x
e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x
que após a integração por partes, temos
e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C
isolando y
y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
B y=5ex+Cy=5ex+C
C y=e−5Cy=e−5C
D y=C−25exy=C−25ex
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y
′=x2+cos(x)y =x2+cos(x)′
Nota: 20.0
A y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C
B y=2x−cos(x)y=2x−cos(x)
C y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
y=x33+sen(x)+C
Você acertou!
Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos
y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
D y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x)
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para calcular z′+z=0z +z=0′ no 
ponto inicial z(0)=1z(0)=1
Nota: 20.0
A z=−etz=−et
B z=e2tz=e2t
C z=et2z=et2
D z=e−tz=e−t
Você acertou!
Após identificar p(t)=1p(t)=1, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. 
Ou seja, μ(t)=e∫1dt=etμ(t)=e∫1dt=et.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[et.z]=et.0ddt[et.z]=et.0. Integrando essa expressão e isolando z, temos
z=ce−tz=ce−t que é a solução geral para o problema.
Para obter a solução particular, substituímos a condição inicial z(0)=1z(0)=1, ou seja:
1=ce−01=ce−0 que resulta em c=1c=1 e podemos escrever a solução particular
z=e−tz=e−t
Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Obtenha uma solução geral.
Nota: 20.0
A y(t)=C1e−2t+C2e4ty(t)=C1e−2t+C2e4t
B y(t)=C1e2t−C2e−4ty(t)=C1e2t−C2e−4t
C y(t)=C1e2+C2e−4y(t)=C1e2+C2e−4
D y(t)=C1e2t+C2e−4ty(t)=C1e2t+C2e−4t
Você acertou!
Se
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Encontre a equação característica de e obtenha a 
solução geral da EDO
Nota: 0.0
A y(t)=(C1+tC2)e2ty(t)=(C1+tC2)e2t
B y(t)=(C1+tC2)e−2ty(t)=(C1+tC2)e−2t
a solução geral para o caso de raízes repetidas é dada pela equação
C y(t)=(C1+C2)e−2ty(t)=(C1+C2)e−2t
D y(t)=(C1+tC2)ety(t)=(C1+tC2)et
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Encontre a equação característica de e obtenha a solução 
geral da EDO.
Nota: 0.0
A y(t)=C1cost+C2senty(t)=C1cost+C2sent
substituindo na equação geral
temos
B y(t)=C1cost−C2senty(t)=C1cost−C2sent
C y(t)=C1cos2t+C2senty(t)=C1cos2t+C2sent
D y(t)=C1cost+C2sen2ty(t)=C1cost+C2sen2t
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Seja a Equação Diferencial dada por:
d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0
encontre sua solução geral.
Nota: 0.0
A y(t)=C1+C2e−t+C3e2ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t
B y(t)=C1e−t+C2e2ty(t)=C1e−t+C2e2t
C y(t)=C1+C2e−ty(t)=C1+C2e−t
D y(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4t
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Encontre a solução geral de y′′4−4y′+25y=0y 4−4y +25y=0″4−4y′+25y=0 ′
Nota: 0.0
A y=e8t(c1cos(6t)+c2sen(6t))y=e8t(c1cos⁡(6t)+c2sen(6t))
B y=e8tc1cos(6t)y=e8tc1cos⁡(6t)
C y=e8tc1sen(6t)y=e8tc1sen(6t)
D y=c1cos(6t)+c2sen(6t)y=c1cos⁡(6t)+c2sen(6t)
Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Seja a função:
Nota: 20.0
A y=c1ex/5+c2−x2
B y=c1ex/5+c2−2x2−20
Você acertou!
C y=c1ex/5+c2−2x2+4
D y=c_1e^{x/5}+c_2-4x^2
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Seja a função:
Nota: 20.0
A
B
Você acertou!
C
D
Questão3/5 - Equações Diferenciais
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo
{y+z′=cosx+senxy′+z=cosx−senx
Encontre a solução geral para y(x) e para z(x)
Nota: 20.0
A y(x)=cosx+senx−c1ex+c2e−x 
 z(x)=c1ex+c2e−x
Você acertou!
B y(x)=cosx+senx 
 z(x)=c1ex+c2e−x
C y(x)=c1ex+c2e−x 
 z(x)=cosx+senx
D y(x)=cosx+senx−c1ex 
 z(x)=c2e−x
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo
{2y′+z′−4y−z=0y′+3y+z=0
Encontre a solução geral para y(x).
Isole y' na segunda equação e substitua o valor encontrado na primeira, 
para obter uma expressão em z'.
Resolva o sistema formado pelo y' e z' encontrados. Nesse novo sistema, a 
dica é derivar a primeira equação.
Nota: 0.0
A y(x)=c1cosx+c2senx
B y(x)=c1cosx−c2senx
C y(x)=c1cos2x+c2sen2x
D y(x)=c1cos(x/2)+c2sen(x/2)
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo
{y″4−4y′+25y=0−2z′−y=0y′−z″4−4y′+25y=0−2z=0
Encontre a solução geral para z(x)
Dica: multiplique a primeira equação por D e a segunda por (D2−1)
Nota: 20.0
A z(x)=c1e√2x+c2cosx+c3senx
B z(x)=c1e√2x+c2e−√2x+c3cosx+c4senx
Você acertou!
C z(x)=c1e√2x+c2senx
D z(x)=c1e−√2x+c3cosx+c4senx