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Álgebra Linear

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Uma matriz A de dimensões 6× 8, cujas colunas são denotadas por ~aj , com j ∈ {1, 2, . . . , 8}, é tal que ~a6 = 9~a3+3~a5 e ~a8 = 8~a2. Sobre o sistema linear homogêneo [ A ∣∣∣ ~0 ], a única afirmação INCORRETA é:

(a) Podemos afirmar que o conjunto-solução tem dimensão 2 (ou seja, são duas as variáveis livres).
(e) [ −→ AB −−→ EH −→ BF ] possui solução única.
(f) [ −→ BF −−→ BC −−→ DH ] não possui solução.
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Vamos analisar as afirmações uma a uma, considerando as informações dadas sobre a matriz \( A \) e as relações entre suas colunas. 1. (a) "Podemos afirmar que o conjunto-solução tem dimensão 2 (ou seja, são duas as variáveis livres)." - A matriz \( A \) tem 8 colunas e, dado que \( \mathbf{a}_6 \) e \( \mathbf{a}_8 \) podem ser expressas em termos de outras colunas, isso indica que há dependência linear. Portanto, a dimensão do núcleo (ou espaço nulo) pode ser maior que 2, mas não podemos afirmar isso sem mais informações. 2. (e) "[ −→ AB −−→ EH −→ BF ] possui solução única." - Para que um sistema tenha solução única, a matriz deve ser de posto completo, o que não é o caso aqui, já que temos dependências lineares. Portanto, essa afirmação é incorreta. 3. (f) "[ −→ BF −−→ BC −−→ DH ] não possui solução." - Essa afirmação pode ser verdadeira, dependendo das relações entre os vetores, mas não podemos afirmar isso sem mais informações. Diante da análise, a afirmação INCORRETA é a (e), pois um sistema com dependências lineares não pode ter solução única.

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Denotamos por −−→ XY , o vetor cuja base está no ponto X e o final no ponto Y , isto é, −−→ XY = Y − X. O desenho abaixo indica as posições dos pontos A, B, C, D, E, F , G e H, vértices de um cubo. Assinale a opção correta:

(a) [ −→ EF −−→ BC −−→ DH ] possui solução única.
(b) [ −→ EF −→ AE −−→ DH ] possui infinitas soluções.
(c) [ −−→ CD −→ FG −−→ GH ] não possui solução.
(d) [ −→ BF −−→ GH −→ AE ] possui solução única.
(e) [ −→ AB −−→ AD −−→ CD ] não possui solução.
(f) [ −−→ GH −−→ CG −→ AE ] possui infinitas soluções.

O conjunto dos (x, y, z, w) ∈ R4 tais que w+3x = −2 pode ser representado por:

(a)  0 0 0 −2 + span {  1 0 0 −3  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(b)  0 −2 0 0 + span {  0 1 −3 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }
(c)  −2 0 0 0 + span {  1 0 0 −3  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(d)  0 −3 0 0 + span {  0 −3 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(e)  −3 0 0 0 + span {  −3 0 0 1  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(f)  0 0 0 −3 + span {  −3 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(g)  0 0 −2 0 + span {  0 −3 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(h)  0 0 −3 0 + span {  0 1 −3 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }

Um sistema em 47 variáveis

(a) com 40 equações tem infinitas soluções.
(b) homogêneo com 42 equações pode não ter solução.
(c) homogêneo com 52 equações tem infinitas soluções.
(d) com 48 equações não tem solução.
(e) com 46 equações pode ter solução única.
(f) com 47 equações tem solução única.
(g) homogêneo com 50 equações pode ter infinitas soluções.
(h) homogêneo com 44 equações pode ter solução única.

Sabe-se que A3×3 é tal que A  1 −3 −2  =  2 4 2  , A  −38 4  =  −1−4 −5  e A  2 −8 −11  =  −3−7 −5  . Assinale a afirmação verdadeira:

(a) Pode-se afirmar que A~x = ~b tem solução única para qualquer ~b.
(b) Não se pode afirmar se A~x = ~b tem solução para qualquer ~b.
(c) Pode-se afirmar que A~x = ~b tem solução para qualquer ~b, mas não se pode garantir unicidade.
(d) Pode-se afirmar que A~x = ~b não tem solução para certos valores do vetor ~b.

Uma matriz A de dimensões 6× 8, cujas colunas são denotadas por ~aj , com j ∈ {1, 2, . . . , 8}, é tal que ~a8 = 4~a1+7~a5 e ~a7 = 3~a2. Sobre o sistema linear homogêneo [ A ∣∣∣ ~0 ], a única afirmação INCORRETA é:

(a) Podemos afirmar que (− 4, 3, 0, 0,−7, 0,−1, 1) é uma solução.

Considere em os planos definidos por (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 2 y − 4 z = 4 e 2x− 8 y − 20 z = 12. A interseção destes planos pode ser escrita como:

(a)  3 5 −2 + t −2−3 1 
(b)  3 5 −2 + t −20 1 
(c)  6 5 −2 + t 00 1 
(d)  6 5 −2 + t −20 1 
(e)  3 5 −2 + t 00 1 
(f)  6 5 −2 + t −2−3 1 
(g)  6 5 −2 + t  0 −3 1 
(h)  3 5 −2 + t  0 −3 1 

Considere em os planos definidos por (x, y, z) ∈ R3 tais que x− y+2 z = −4 e 2x−5 y+10 z = −20. A interseção destes planos pode ser escrita como:

(a) 08 2 + t  0 −2 −1 
(b) −38 2 + t  0 −2 −1 
(c) 08 2 + t  0 −3 −1 
(d) −38 2 + t  2 −2 −1 
(e) −38 2 + t  2 −3 −1 
(f) 08 2 + t  2 −3 −1 
(g) −38 2 + t  0 −3 −1 
(h) 08 2 + t  2 −2 −1 

O conjunto dos (x, y, z, w) ∈ R4 tais que y−7 z = −3 pode ser representado por:

(a)  7 0 0 0 + span {  7 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(b)  −3 0 0 0 + span {  1 0 0 7  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(c)  0 0 −3 0 + span {  0 7 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(d)  0 0 0 7 + span {  1 0 0 7  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(e)  0 0 0 −3 + span {  7 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(f)  0 7 0 0 + span {  0 1 7 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }
(g)  0 0 7 0 + span {  0 1 7 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(h)  0 −3 0 0 + span {  0 7 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }

Denotamos por −−→ XY , o vetor cuja base está no ponto X e o final no ponto Y, isto é, −−→ XY = Y − X. O desenho abaixo indica as posições dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H, vértices de um cubo. Assinale a opção correta:

(a) [ −→ AB −−→ EH −→ AE ] possui solução única.
(b) [ −→ BF −−→ GH −−→ DH ] possui solução única.
(c) [ −−→ CD −→ FG −→ EF ] não possui solução.
(d) [ −→ AB −−→ DH −→ AE ] possui infinitas soluções.
(e) [ −→ EF −−→ BC −−→ GH ] não possui solução.
(f) [ −−→ GH −−→ CG −−→ DH ] possui infinitas soluções.

Uma matriz A de dimensões 6× 8, cujas colunas são denotadas por ~aj , com j ∈ {1, 2, . . . , 8}, é tal que ~a6 = 9~a3+3~a5 e ~a8 = 8~a2. Sobre o sistema linear homogêneo [ A ∣∣∣ ~0 ], a única afirmação INCORRETA é:

(a) Podemos afirmar que o conjunto-solução tem dimensão 2 (ou seja, são duas as variáveis livres).
(e) [ −→ AB −−→ EH −→ BF ] possui solução única.
(f) [ −→ BF −−→ BC −−→ DH ] não possui solução.

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