Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre a reta e a circunferência. A circunferência dada é \((x - 4)^2 + y^2 = 4\), que tem centro em \(C(4, 0)\) e raio \(r = 2\). A reta é dada por \(y = mx + 2\). Para que a reta seja tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência até a reta deve ser igual ao raio. A fórmula da distância \(d\) de um ponto \((x_0, y_0)\) a uma reta \(Ax + By + C = 0\) é: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Reescrevendo a equação da reta \(y = mx + 2\) na forma \(Ax + By + C = 0\): \[ mx - y + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m, B = -1, C = 2 \] Agora, substituímos o centro da circunferência \(C(4, 0)\): \[ d = \frac{|m \cdot 4 - 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] Para que a reta seja tangente, essa distância deve ser igual ao raio \(r = 2\): \[ \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ (4m + 2)^2 = 4(m^2 + 1) \] Expandindo: \[ 16m^2 + 16m + 4 = 4m^2 + 4 \] Rearranjando: \[ 12m^2 + 16m = 0 \] Fatorando: \[ 4m(3m + 4) = 0 \] Assim, temos duas soluções: 1. \(m = 0\) 2. \(3m + 4 = 0 \Rightarrow m = -\frac{4}{3}\) Agora, somando os possíveis valores de \(m\): \[ 0 + \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{3} \] Portanto, a soma dos possíveis valores de \(m\) é: C) −4/3.