Para calcular o limite \(\lim _{r\rightarrow 1}\left[\frac{r^{2}-r}{2r^{2}+5r-7}\right]\), vamos primeiro substituir \(r\) por 1 na expressão. 1. Numerador: \(r^2 - r = 1^2 - 1 = 0\) 2. Denominador: \(2r^2 + 5r - 7 = 2(1^2) + 5(1) - 7 = 2 + 5 - 7 = 0\) Como tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\). Precisamos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador: - Numerador: \(r^2 - r = r(r - 1)\) - Denominador: \(2r^2 + 5r - 7\) Para o denominador, podemos usar a fórmula de Bhaskara ou tentar fatorar diretamente. As raízes do polinômio \(2r^2 + 5r - 7\) são: \[ r = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4} \] As raízes são \(r = 1\) e \(r = -\frac{7}{2}\). Portanto, podemos fatorar o denominador como: \[ 2r^2 + 5r - 7 = 2(r - 1)(r + \frac{7}{2}) \] Agora, substituindo na expressão original: \[ \frac{r(r - 1)}{2(r - 1)(r + \frac{7}{2})} \] Cancelando o fator \((r - 1)\): \[ \frac{r}{2(r + \frac{7}{2})} \] Agora, podemos calcular o limite: \[ \lim_{r \rightarrow 1} \frac{r}{2(r + \frac{7}{2})} = \frac{1}{2(1 + \frac{7}{2})} = \frac{1}{2 \cdot \frac{9}{2}} = \frac{1}{9} \] Portanto, o limite é: \[ \frac{1}{9} \]