Determine a integral dupla iterada: ∫01∫x2x(1+xy) dydx pode ser escrita como:

Para resolver a integral dupla iterada \( \int_0^1 \int_{x}^{2x} (1 + xy) \, dy \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Calcular a integral interna: \[ \int_{x}^{2x} (1 + xy) \, dy \] Para isso, vamos integrar \( 1 + xy \) em relação a \( y \): \[ \int (1 + xy) \, dy = y + \frac{xy^2}{2} \] Agora, avaliamos de \( y = x \) a \( y = 2x \): \[ \left[ y + \frac{xy^2}{2} \right]_{x}^{2x} = \left( 2x + \frac{x(2x)^2}{2} \right) - \left( x + \frac{x(x)^2}{2} \right) \] Calculando: \[ = \left( 2x + \frac{4x^3}{2} \right) - \left( x + \frac{x^3}{2} \right) \] \[ = \left( 2x + 2x^3 \right) - \left( x + \frac{x^3}{2} \right) \] \[ = 2x + 2x^3 - x - \frac{x^3}{2} = x + \frac{4x^3}{2} - \frac{x^3}{2} = x + \frac{3x^3}{2} \] 2. Calcular a integral externa: Agora, precisamos calcular: \[ \int_0^1 \left( x + \frac{3x^3}{2} \right) \, dx \] Isso se divide em duas integrais: \[ \int_0^1 x \, dx + \frac{3}{2} \int_0^1 x^3 \, dx \] Calculando cada uma: \[ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \] \[ \int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \] Portanto: \[ \frac{3}{2} \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \] 3. Somando os resultados: \[ \int_0^1 \left( x + \frac{3x^3}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \] Portanto, a integral dupla iterada é: \[ \int_0^1 \int_{x}^{2x} (1 + xy) \, dy \, dx = \frac{7}{8} \]