No quadrilátero plano ABCD os ângulos ABC e ADC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD vale

Para resolver essa questão, vamos analisar a configuração do quadrilátero ABCD. 1. Identificação dos pontos: - Colocamos A na origem (0,0). - Como AB = 1 e o ângulo ABC é reto, B será (1,0). - Como AD = 1 e o ângulo ADC é reto, D será (0,1). - Como BC = 2 e CD = 2, C estará a 2 unidades de B e 2 unidades de D. 2. Coordenadas de C: - A partir de B (1,0), C pode estar em (1,2) ou (3,0) dependendo da posição, mas como BC = 2 e CD = 2, a posição correta de C é (1,2). 3. Cálculo do ângulo BCD: - Os vetores BC e CD são: - \( \vec{BC} = (1 - 1, 2 - 0) = (0, 2) \) - \( \vec{CD} = (0 - 1, 1 - 2) = (-1, -1) \) 4. Cálculo do cosseno do ângulo BCD: - Usamos a fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{CD}}{|\vec{BC}| |\vec{CD}|} \] - O produto escalar \( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) = -2 \). - O módulo de \( \vec{BC} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \). - O módulo de \( \vec{CD} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \). 5. Substituindo na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{-2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Portanto, o cosseno do ângulo BCD vale \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).