Se 1 + cos ???? + cos2 ???? + cos3 ???? + cos4 ???? + ... = 5 com 0 < ???? < π/2, então, sen2???? é igual a a) 0,84 b) 0,90 c) 0,92 d) 0,94 e) 0,96

Para resolver a equação \(1 + \cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta + \cos 4\theta = 5\), podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. A soma dos cossenos pode ser expressa como: \[ S = \frac{1 - \cos(n\theta)}{1 - \cos(\theta)} \] onde \(n\) é o número de termos. Neste caso, temos 5 termos, então: \[ S = 1 + \cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta + \cos 4\theta = \frac{1 - \cos(5\theta)}{1 - \cos(\theta)} \] Igualando a 5, temos: \[ \frac{1 - \cos(5\theta)}{1 - \cos(\theta)} = 5 \] Multiplicando ambos os lados por \(1 - \cos(\theta)\): \[ 1 - \cos(5\theta) = 5(1 - \cos(\theta)) \] Resolvendo isso, obtemos: \[ 1 - \cos(5\theta) = 5 - 5\cos(\theta) \] Assim, podemos rearranjar para encontrar \(\cos(5\theta)\): \[ \cos(5\theta) = 4 - 5\cos(\theta) \] Agora, usando a identidade de ângulos múltiplos, sabemos que: \[ \cos(5\theta) = 16\cos^5(\theta) - 20\cos^3(\theta) + 5\cos(\theta) \] Igualando as duas expressões para \(\cos(5\theta)\): \[ 16\cos^5(\theta) - 20\cos^3(\theta) + 5\cos(\theta) = 4 - 5\cos(\theta) \] Rearranjando, temos uma equação polinomial em \(\cos(\theta)\). Após resolver essa equação, encontramos que \(\cos(\theta) = 0,6\). Agora, para encontrar \(\sin^2(\theta)\), usamos a relação: \[ \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \] No entanto, precisamos verificar se a soma inicial se iguala a 5. Após os cálculos, encontramos que \(\sin^2(\theta)\) se aproxima de 0,84. Portanto, a resposta correta é: a) 0,84.