Qual é a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)? A) \( \frac{1}{4} \) B) 1 C) \( \frac{5}{4} \) D) \( \frac{2}{3} \)

Para resolver a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \), vamos calcular a integral passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). - A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -x^3 \). - A antiderivada de \( 2 \) é \( 2x \). Portanto, a antiderivada de \( 4x^3 - 3x^2 + 2 \) é: \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x \] 2. Calcular a integral definida: Agora, vamos avaliar \( F(x) \) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = 1^4 - 1^3 + 2 \cdot 1 = 1 - 1 + 2 = 2 \] \[ F(0) = 0^4 - 0^3 + 2 \cdot 0 = 0 \] 3. Subtrair os valores: \[ \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2 \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{4} \) B) 1 C) \( \frac{5}{4} \) D) \( \frac{2}{3} \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado que encontramos, que é 2. Portanto, parece que há um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!