Para determinar a derivada de \( f(x) = x \tan(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u = x \) e \( v = \tan(x) \) Calculando as derivadas: - \( u' = 1 \) - \( v' = \sec^2(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(x \tan(x)) = u'v + uv' = 1 \cdot \tan(x) + x \cdot \sec^2(x) \] Portanto, a derivada é: \[ \tan(x) + x \sec^2(x) \] Assim, a alternativa correta é: A) \( \tan(x) + x \sec^2(x) \)